방산고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

방산고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 속도와 극값의 기본형에서 출발해 정적분으로 정의된 함수의 성질까지 연결됩니다.

앞부분에서는 위치를 미분하거나 속도를 적분하고, 접선의 기울기로부터 함수를 복원하는 기본 관계를 확인합니다. 중간부터는 넓이의 비교, 도함수 그래프의 해석, 적분 등식의 미분처럼 문제의 표현을 바꾸어야 하는 유형이 등장합니다. 공식을 적용하기 전 무엇을 미분하거나 적분하는지 정해야 합니다.

후반은 여러 조건을 함께 검토해야 합니다. 미분가능성에서 도함수의 조건을 얻고 정수 조건을 결합하거나, 적분 조건을 수평선과 그래프의 교점 문제로 바꾸는 방식입니다. 단순 계산 연습에 더해 조건을 부호표와 개형으로 옮기는 연습을 하세요.

난이도 분포 — 기본 계산 이후에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2·3·4·5·6·8번입니다. 미분과 적분의 직접 계산이 중심이지만, 넓이를 구할 때의 부호나 적분상수를 정하는 조건은 빠뜨릴 수 없습니다. 특히 8번은 적분으로 표현된 극한을 미분계수로 읽는 기본 구조를 익혀 두어야 합니다.

보통은 7·9·10·11·12·13·14·16·21번입니다. 절댓값의 구간 분리, 두 곡선의 위아래 관계, 평균값 정리의 가정 확인처럼 계산에 앞선 판단이 필요합니다. 어려움 문항 사이에 16번과 21번이 있으므로 번호가 뒤라는 이유로 함께 미루지 마세요.

어려움은 15번부터 나타나며 17~20번과 22·23번에 이어집니다. 그래프에서 보이는 정보를 다른 함수의 증감이나 교점 개수로 연결하는 부담이 큽니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료로 볼 수는 없습니다.

출제 단원 — 정적분과 도함수 해석의 연결

정적분은 6·8·10·13·16·17·22·23번입니다. 구간 합치기와 절댓값 적분에서 시작해 도함수 그래프를 이용한 함수값 복원, 적분 등식의 미분, 누적함수의 최댓값·최솟값으로 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 계산과 그래프 해석의 역할이 달라집니다.

도함수의활용은 1·2·7·14·15·19·21번입니다. 극값과 실근 개수 외에 평균값 정리가 객관식과 서술·단답형에 모두 등장합니다. 도함수가 사라지는 점을 찾는 것과 그 점에서 실제로 극값을 갖는지 판단하는 것을 구별해야 합니다.

정적분의활용은 3·4·9·11·12·20번으로, 넓이와 운동의 해석이 중심입니다. 특히 위치 변화량과 이동거리의 차이가 후반 조건 해석으로 이어집니다. 부정적분의 5번과 미분계수와도함수의 18번은 각각 함수 복원과 미분가능성이라는 기초 개념을 점검합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 도함수의활용에서 정적분으로 중심 이동

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 7문항으로 늘었지만 쉬움도 4문항에서 7문항으로 늘었습니다. 서술·단답은 3문항에서 1문항으로 줄었으므로, 어려움 문항 수의 변화만으로 시험 전체의 부담을 단정하기는 어렵습니다.

도함수의활용은 작년 10문항에서 올해 7문항으로 줄고 정적분은 6문항에서 8문항으로 늘었습니다. 정적분의활용은 5문항에서 6문항으로 늘었으며 부정적분은 두 해 모두 1문항입니다. 미분과 적분의 기본 관계를 유지하면서 적분 조건을 그래프로 바꾸는 연습을 보강할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 14·15·16·20·21·22번이었고 올해는 15·17·18·19·20·22·23번입니다. 후반에 어려움이 배치되는 구조는 이어지지만 올해 서술·단답인 21번은 보통으로 분류됩니다. 서술형 여부보다 각 문항의 접근 가능성을 보고 풀이 순서를 정하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 적분식이나 부호 조건을 그래프 정보로 바꾸는 단계가 중요합니다. 계산 전에 개형과 부호표를 짧게 그려 두면 경우 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 직접 계산 문항을 처리하고, 조건 판단이 길어지는 문제에는 표시를 남기세요. 15번 이후에 어려움이 이어지지만 16번과 21번은 보통으로 분류됩니다. 후반을 한꺼번에 포기하지 말고 전체를 훑어 풀이의 출발점이 보이는 문항을 확보하는 연습이 필요합니다.

21번은 평균값 정리를 정확히 서술할 시간을 남겨 두세요. 닫힌구간의 연속성과 열린구간의 미분가능성, 결론에 등장하는 점의 위치를 구분해야 합니다. 두 구간에서 얻은 부등식을 연결할 때는 각각 어느 조건에서 나온 것인지 표시하면 논리의 빈틈을 점검하기 쉽습니다.

검토할 때는 계산을 모두 반복하기보다 부호와 경계를 우선 확인하세요. 10·12번은 구간별 식과 위아래 관계, 18번은 정수의 중복, 19번은 경계점 포함 여부, 20번은 위치 변화량과 이동거리의 차이가 핵심입니다. 22·23번은 얻은 후보가 전체 조건을 만족하는지 다시 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 위치·속도·도함수와 원시함수의 관계를 복습하세요. 미분할 대상과 적분 뒤 더할 초기값을 먼저 적으세요(1·4·5번 대비).
2. 정적분의 구간 합치기와 미분계수형 극한을 연습하세요. 적분으로 정의된 식을 하나의 함수로 두고 구조를 읽으세요(6·8·9·16번 대비).
3. 절댓값 적분과 넓이를 부호표로 정리하세요. 교점 전후의 위아래 관계와 넓이의 등식을 먼저 세우세요(3·10·11·12번 대비).
4. 도함수 그래프에서 원래 함수의 증감과 변화량을 복원하세요. 극값과 도함수가 사라지는 점을 구별하세요(2·13·14·15번 대비).
5. 평균값 정리는 가정·적용 구간·결론을 문장으로 쓰세요. 명제의 반례와 두 구간의 부등식 연결도 연습하세요(7·21번 대비).
6. 미분가능성, 정수 조건, 수평선 교점 개수를 경우별로 정리하세요. 경계값과 중복된 후보를 따로 확인하세요(17·18·19번 대비).
7. 부호 조건과 누적량을 결합한 유형으로 마무리하세요. 이동거리의 구간 분리와 누적함수의 극값, 매개변수 범위를 순서대로 확인하세요(20·22·23번 대비).