풍문고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

풍문고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 성질과 연속의 정의를 바탕으로 미분계수와 접선까지 연결하는 시험입니다.

초반에는 직접 대입, 인수분해, 다항함수의 미분처럼 출발점이 분명한 문제가 나옵니다. 이후에는 극한값의 존재에서 함수의 인수를 추론하거나, 미분계수의 정의에 맞게 분모를 바꾸는 과정이 필요합니다. 공식을 아는 데서 그치지 않고 그 공식을 쓸 수 있는 형태를 만드는 능력을 점검하세요.

후반에도 자동 분류 기준 쉬움과 보통 문항이 남아 있습니다. 고난도 문항에 오래 머무르기보다 전체를 훑어 풀이 근거가 보이는 문제를 먼저 처리하는 운영이 유효합니다. 서술에서는 수치 계산뿐 아니라 연속성, 극한의 존재, 정리의 적용 조건을 문장으로 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반에 모인 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반의 1~5번에 모여 있고 9·20번에도 있습니다. 다만 9번은 합성된 입력을 미분계수의 정의로 바꾸고, 20번은 좌우 차분몫을 구별해야 합니다. 쉬움이라는 분류를 보고 정의를 생략하면 개념을 잘못 적용할 수 있습니다.

보통 구간은 도형의 길이를 식으로 바꾸는 7번, 접선과 거리를 연결하는 11번, 극한 조건으로 계수를 정하는 12번처럼 접근법 선택이 중요합니다. 서술·단답형도 모두 이 구간에 속하며, 특히 21·22번은 계산 결과까지 가는 논리의 연결을 점검해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움인 13·14번은 연속성의 검사 지점이 여러 곳이고, 17·18번은 차수나 근의 중복을 따져야 합니다. 이 분포는 자동 분류 결과이므로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 풀이 연습에서는 계산 시간과 조건 해석 시간을 나누어 기록해 보세요.

출제 단원 — 함수의 극한에서 미분의 정의로

가장 비중이 큰 함수의극한은 단순 대입부터 도형의 극한, 다항식 결정까지 폭이 넓습니다. 3번의 약분과 7번의 유리화는 식을 정리하는 기본 도구이고, 12·18번에서는 분모가 사라지는 지점에서 분자도 가져야 할 조건을 찾아야 합니다. 같은 극한 단원 안에서도 계산형과 조건 추론형을 나누어 준비하세요.

미분계수와도함수는 미분 공식뿐 아니라 정의를 읽는 문제가 중요합니다. 9·10·21번에서는 함수의 입력 변화와 분모의 변화량을 맞춰야 하며, 20번은 연속성과 미분가능성을 구별합니다. 미분계수를 단순히 도함수에 값을 대입하는 절차로만 공부하면 이 연결을 놓치기 쉽습니다.

함수의연속은 16번의 경계 조건에서 13·14번의 여러 지점 검사로 이어지고, 22번에서는 사잇값의 정리를 적용합니다. 도함수의활용은 6·11·19번 모두 접선과 기울기를 중심으로 준비할 수 있습니다. 접점이 주어졌는지, 외부 점이 주어졌는지, 기울기가 주어졌는지를 먼저 구별하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움 문항 중 조건 검사의 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다. 공통점은 계산 전 검사 지점을 정하고 계산 뒤 예외를 재검토해야 한다는 것입니다. 17번의 차수 비교도 같은 관점에서 함께 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 계산을 정확하게 처리한 뒤 접근이 보이는 문제를 이어 가세요. 13·14번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 15·16번을 확인하는 방식이 좋습니다. 17·18번을 풀기 전에도 19~22번의 접선과 정의·정리 적용 문제에 필요한 시간을 남겨 두세요.

서술·단답형은 시작 근거를 짧게 적는 연습이 필요합니다. 15번은 성질의 전제와 반례, 16번은 경계의 함숫값, 21번은 극한을 차분몫으로 바꾸는 조건을 먼저 정리하세요. 22번에서는 연속이라는 말과 부호 변화, 서로 다른 근이 나오는 구간을 빠짐없이 제시해야 합니다.

마지막 검토에서는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건 누락을 확인하세요. 6번의 외부 점과 접점, 9·10번의 입력 변화량, 13번의 중복인수, 18번의 근의 중복이 주요 점검 대상입니다. 20번의 함수 극한과 차분몫 극한을 섞지 않았는지도 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한 계산의 출발점을 복습하세요. 직접 대입이 가능한지 확인한 뒤 인수분해와 유리화를 선택하는 순서로 연습하세요(1·2·3·7번 대비).
2. 극한의 존재로부터 다항식의 조건을 얻는 연습을 하세요. 낮은 차수 항의 영향과 항등식의 차수 비교를 각각 설명해 보세요(12·17번 대비).
3. 연속성의 검사 지점을 표로 정리하세요. 분모의 영점과 구간 경계를 구별하고 평행이동한 인수까지 검사하세요(13·14·16번 대비).
4. 평균변화율과 미분계수의 정의를 연결하세요. 합성된 입력의 변화량에 맞추어 분모를 바꾸는 과정을 직접 써 보세요(4·5·9·10·20번 대비).
5. 곱의 미분법은 함수의 구조를 먼저 정리한 뒤 적용하세요. 공통 함숫값을 빼는 방법과 극한 조건을 차분몫으로 바꾸는 방법을 익히세요(8·21번 대비).
6. 접선 문제는 주어진 조건부터 분류하세요. 외부 점, 기울기, 거리 조건에 따라 접점을 정하는 식이 어떻게 달라지는지 비교하세요(6·11·19번 대비).
7. 논증 문제에서는 조건과 결론 사이의 근거를 적으세요. 명제의 반례, 집합에서의 근 중복, 사잇값의 정리의 적용 구간을 따로 점검하세요(15·18·22번 대비).