방산고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

방산고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험은 객관식 16문항과 서술·단답형 4문항으로 구성되며, 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다.

도함수의 활용에서는 롤의 정리와 평균값 정리, 증가와 감소, 극값, 그래프의 교점, 실생활 최적화를 다룹니다. 적분에서도 원시함수를 계산하는 데 그치지 않고 증가 조건이나 넓이의 의미를 함께 사용합니다. 단원별 공식을 외우는 것과 조건을 해석하는 연습을 함께 해야 합니다.

서술·단답형에는 개념의 참·거짓 판단과 정리의 적용, 도함수의 인수 형태를 설명하는 과정, 도형의 부피를 함수로 만드는 과정이 포함됩니다. 결과만 적는 연습보다 가정과 근거를 짧게 연결해 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 6번부터 이어지는 어려움

위 난이도는 자동 분류 기준입니다. 1~3번은 정리의 적용, 정적분 계산, 도함수의 부호를 확인하는 출발 구간입니다. 4·5번은 함수의 차를 이용한 부등식과 닮음으로 세운 거리 관계를 다루므로 계산 전에 상황을 식으로 옮겨야 합니다.

6~16번은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 부정적분 등식의 미분, 최댓값으로 정의한 함수, 역함수와 넓이, 절댓값과 미분가능성처럼 해석 방식이 계속 바뀝니다. 같은 계산을 오래 반복하기보다 각 문항에서 먼저 확인할 조건을 찾아야 합니다.

17·18번은 보통, 19·20번은 어려움입니다. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술형을 시작하면 개념 판단과 평균값 정리를 다루는 문항까지 놓칠 수 있습니다. 문항 순서와 실제 풀이 순서를 유연하게 조정하세요.

출제 단원 — 도함수의활용 13문항이 중심

도함수의 활용은 전체의 65%이며 서술·단답형 전체가 이 단원으로 분류됩니다. 같은 단원 안에서도 기본 증감 판단과 정리의 논증, 함수의 재구성, 부피 최적화가 함께 나오므로 특정 계산 유형만 반복해서는 대비 범위가 좁아집니다.

정적분의 활용은 역함수와의 대칭, 운동 거리, 넓이 조건을 함수의 부호로 바꾸는 문항으로 구성됩니다. 정적분 단원의 13·14번도 절댓값의 경우 구분과 구간 이동 조건을 요구합니다. 적분 계산에 들어가기 전에 구간, 부호, 그래프의 관계를 표시하는 것이 공통된 준비입니다.

부정적분은 6번에 배치되지만 함수가 증가한다는 조건까지 확인해야 합니다. 단원별 문항 수가 적다고 학습 우선순위를 지나치게 낮추기보다, 미분과 적분을 왕복하며 함수의 성질을 결정하는 연결 유형으로 연습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항은 줄고 조건 해석 부담은 증가

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 늘고 보통은 줄었습니다. 총 문항 수가 감소했어도 서술·단답형은 늘었으므로, 문항 수만 보고 풀이 부담이 작아졌다고 판단하기 어렵습니다.

도함수의 활용은 작년에도 가장 많은 단원이었으며 올해는 비중이 더 커졌습니다. 정적분과 정적분의 활용은 각각 작년 4문항에서 올해 3문항으로 줄었습니다. 올해는 부정적분이 별도 단원으로 나타나며, 작년에는 미분계수와도함수에 5문항이 분류되어 있었습니다.

작년 어려움 문항은 13번에서 시작해 후반에 많이 배치됐지만, 올해는 6번부터 객관식 후반까지 이어집니다. 다음 시험을 준비할 때는 초반 고난도 문항에서 멈추지 않는 운영과, 정리의 가정을 설명하는 서술 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 새로 정의된 함수의 성질을 원래 함수의 성질에서 바로 단정할 수 없다는 것입니다. 정의를 구간별 식이나 부호 조건으로 바꾸고 예외 지점을 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번에서 계산과 조건 해석을 안정적으로 마친 뒤 전체를 훑으세요. 6번부터 풀이가 길어지면 출발 아이디어와 막힌 조건을 표시해 두고 다른 문항을 확인하세요. 특히 17·18번을 객관식 후반이 끝날 때까지 미루지 않는 연습이 필요합니다.

서술·단답형에서는 답안의 논리 연결을 쓸 시간을 남겨 두세요. 18번은 평균값 정리의 가정과 적용 구간, 19번은 도함수의 인수 형태를 정하는 이유, 20번은 도형의 관계와 변수 범위를 먼저 적으면 계산 흐름을 유지하기 좋습니다. 연습 중 조건 해석과 답안 작성에 드는 시간을 나누어 점검하세요.

마지막 검토에서는 5번의 거리 기준, 10번의 이동 거리와 변위, 13번의 경우별 매개변수 범위를 확인하세요. 11·15번은 극값과 실근의 개수를 실제 부호 변화로 검사하고, 16번은 일반적인 영점과 예외 지점을 빠뜨리지 않았는지 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 롤의 정리와 평균값 정리의 가정을 쓰고 도함수 부호로 증감을 판단하세요. 명제의 역과 반례도 함께 정리하세요(1·3·17·18번 대비).
2. 부등식을 함수의 최솟값으로 바꾸고, 도형의 닮음과 길이 관계를 시간 또는 높이의 함수로 표현하세요(4·5·20번 대비).
3. 적분 등식을 미분한 뒤 인수정리와 증가 조건으로 후보를 검증하세요. 도함수의 인수 형태에서 극값과 함숫값 차이를 연결하세요(6·11·19번 대비).
4. 극값과 수평선의 교점 개수를 그림으로 설명하고, 최댓값 함수의 형태가 바뀌는 지점을 찾아보세요(7·8·15번 대비).
5. 정적분과 넓이의 차이, 속도와 이동 거리, 역함수 그래프의 대칭을 구분해 연습하세요. 적분 전에 부호표를 그리세요(9·10·12번 대비).
6. 절댓값 내부의 근과 적분구간의 위치로 경우를 나누고, 구간 이동 및 연결 지점의 미분가능성을 확인하세요(13·14·16번 대비).