방산고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

방산고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수입니다. 다항함수의 극한과 미분 계산뿐 아니라 그래프에서 한쪽 극한을 읽고 연속성과 미분가능성을 구별하는 문항이 포함됩니다.

초반에는 대입, 평균변화율, 미분계수의 정의와 같은 기본 개념을 확인합니다. 중반부터는 같은 개념을 그래프의 합과 곱, 절댓값, 기하적 거리, 사잇값의 정리와 연결합니다. 공식을 알고 있어도 어떤 함수와 구간에 적용하는지 정하지 않으면 판단이 흔들릴 수 있습니다.

후반의 특징은 조건을 단계적으로 바꾸는 데 있습니다. 평행이동 관계를 접합 조건으로, 그래프와 직선의 관계를 교점 개수 함수로, 극한 조건을 다항식의 인수 구조로 옮겨야 합니다. 계산에 앞서 필요한 조건을 짧게 적는 습관이 풀이 방향을 잡는 데 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 후반의 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움은 1~7번과 14번입니다. 초반에는 다항함수의 극한과 미분, 평균변화율 등을 정확히 처리하는 것이 우선입니다. 14번은 중간에 배치된 쉬움 문항이므로 앞의 그래프 판단에서 막혔다고 뒤 문제까지 함께 미루지 마세요.

보통은 8~13번, 15~17번, 21~23번입니다. 구간별 식의 선택, 극한으로 정의된 함수의 해석, 사잇값의 정리 적용처럼 풀이의 첫 기준을 잡아야 하는 문제가 이어집니다. 보통이라는 분류가 모든 문항의 계산량이나 체감 부담이 같다는 뜻은 아닙니다.

어려움은 18·19·20번에 연속해서 등장하고 마지막 24번에 다시 나옵니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않습니다. 다만 후반에서 여러 조건을 연결하는 시간이 필요하므로, 접근 가능한 21~23번을 남겨 둔 채 한 문제에 오래 머무르지 않는 운영이 중요합니다.

출제 단원 — 미분의 비중과 극한·연속의 연결

미분계수와도함수가 가장 많습니다. 2·3·4번은 미분 공식과 변화율의 정의를 확인하고, 14·17·18·21번은 연속성과 미분가능성을 연결합니다. 특히 연속이라고 해서 미분가능한 것은 아니라는 점을 그래프의 꺾임과 좌우미분계수로 설명할 수 있어야 합니다.

함수의극한은 대입만으로 끝나지 않습니다. 8번은 구간별 식의 선택, 11번은 순서가 있는 극한과 그래프, 16번은 원과 거리 관계를 활용합니다. 22번에서는 유리화 뒤 남는 차수를 살피고, 24번에서는 극한 조건을 인수와 중복도에 관한 정보로 해석해야 합니다.

함수의연속은 그래프 판단과 사잇값의 정리, 교점 개수 함수까지 이어집니다. 13·23번은 어떤 값이나 교점의 존재가 반드시 보장되는 이유를 묻고, 20번은 교점 개수가 바뀌는 지점을 찾아 곱함수의 연속 조건으로 연결합니다. 정의와 정리의 적용 조건을 함께 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항 수는 같고 단원 구성은 변화

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같고 쉬움 문항은 늘었으며, 서술·단답형은 줄었습니다. 이 구성 변화만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 단정하기보다는, 기본형을 확보할 기회와 후반의 조건 해석 부담을 나누어 보는 편이 적절합니다.

작년에는 도함수의활용이 3문항 있었지만 올해 단원 분류에는 없습니다. 공통 단원을 보면 미분계수와도함수는 7문항에서 9문항, 함수의극한은 7문항에서 8문항, 함수의연속은 6문항에서 7문항으로 바뀌었습니다. 올해 자료를 대비할 때는 변화율과 미분가능성의 정의를 극한·연속과 함께 묶어 연습하세요.

작년의 어려움 문항은 16·17·19·20번, 올해는 18·19·20·24번입니다. 올해는 마지막 객관식까지 어려움 문항이 이어지는 배치입니다. 작년과 마찬가지로 서술·단답형은 모두 보통으로 분류되므로, 후반 객관식과 서술·단답형의 풀이 순서를 유연하게 정하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아니라 조건을 연결하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 첫 계산보다 조건을 정리하는 순서가 중요합니다. 접합점, 교점 개수의 변화점, 인수 구조처럼 중간 결과를 남기면 계산이 길어져도 풀이 방향을 유지하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본형을 정확히 처리하고, 중반의 그래프 문항은 접근 방향이 보이는지 확인하세요. 18~20번에서 조건 정리가 길어지면 표시한 뒤 21~23번을 살펴보는 것이 좋습니다. 24번을 풀 시간과 이미 푼 문제를 검토할 시간을 구분해 남기는 연습을 하세요.

그래프에서는 함숫값을 나타내는 점과 좌우에서 다가가는 높이를 구별하세요. 8·17번처럼 입력이 이동하거나 제곱으로 바뀌면 원래 변수의 접근 방향만으로 식을 고르면 안 됩니다. 12번의 닫힌구간 끝점에서는 구간 안쪽의 한쪽 극한을 비교하고, 21번에서는 접하는 경우와 가로질러 만나는 경우를 구분하세요.

서술·단답형은 결론을 쓰기 전 근거를 확인하세요. 22번은 근호와 매개변수의 부호 조건, 유리화 뒤의 차수 비교가 중요합니다. 23번은 열린구간에서 교점이 반드시 존재하도록 하는 부호 변화를 설명해야 합니다. 검토할 때는 전체 계산을 반복하기보다 조건 누락과 경계의 포함 여부를 먼저 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항함수의 극한, 평균변화율, 미분 공식을 정리하세요. 평균변화율과 한 점의 미분계수를 구분하고 분모의 상수배도 확인하세요(1·2·3·4·10번 대비).
2. 그래프에서 함숫값과 좌우극한을 따로 읽는 연습을 하세요. 합과 곱의 연속성, 닫힌구간 끝점의 판단까지 확장하세요(5·6·7·9·12번 대비).
3. 구간별 함수와 절댓값은 입력이 속하는 구간을 먼저 표시하세요. 연속 조건을 확인한 뒤 좌우미분계수와 접선의 기울기를 비교하세요(8·14·15·17·18·21번 대비).
4. 극한식의 변형을 목적에 따라 선택하세요. 무한대에서의 차수 정리, 거리 식의 유리화, 유리화 뒤 소거되는 차수 비교를 연습하세요(11·16·22번 대비).
5. 사잇값의 정리는 연속성과 부호 변화를 근거로 적용하세요. 존재가 가능한 경우와 반드시 보장되는 경우를 구별하세요(13·23번 대비).
6. 매개변수에 따른 교점 개수를 구간별로 정리하고 경계값은 따로 확인하세요. 이어 다항식의 인수 구조와 대소관계의 극한을 결합하는 문제로 확장하세요(19·20·24번 대비).