방산고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

방산고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 미분계수와도함수, 도함수의활용, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 극값부터 정적분으로 정의된 함수와 운동까지 미분·적분의 주요 개념을 함께 다룹니다.

초반에도 공식을 대입하는 계산만 이어지지는 않습니다. 구간별 함수의 연결 조건을 세우거나, 항상 성립하는 부등식을 최솟값으로 바꾸거나, 도함수의 조건을 평균값 정리와 연결해야 합니다. 무엇을 미분하고 어떤 값을 비교할지 정하는 과정이 풀이의 출발점입니다.

후반은 조건을 만족하는 함수의 구조를 추론하는 부담이 큽니다. 도함수의 근과 평행이동된 근을 비교하고, 절댓값을 취한 그래프의 극소나 미분불가능한 지점을 판단합니다. 서술·단답형인 22번은 미분을 항등식에 적용하는 문항이므로 풀이 근거를 정리할 시간도 확보하세요.

난이도 분포 — 후반 객관식에 모인 조건 해석

쉬움으로 분류된 1번과 8번은 각각 정적분 계산과 두 곡선 사이의 넓이입니다. 보통 문항은 초반부터 이어지며, 접점 설정이나 부호 판단처럼 기본 개념을 실제 조건에 적용하도록 합니다. 이 구간에서 풀이의 첫 식을 빠르고 정확하게 세우는 것이 중요합니다.

13번에서 도형의 넓이를 함수로 표현하는 어려움 문항이 나온 뒤 14·15번은 보통으로 돌아옵니다. 16~21번은 어려움이 이어지지만 22번은 보통입니다. 어려운 문제를 번호 순서대로 모두 해결하려 하기보다 전체에서 접근 가능한 문항을 찾아야 합니다.

난이도는 자동 분류 기준입니다. 같은 어려움 문항이라도 16번은 시간 구간별 위치 비교, 20번은 접함과 절댓값의 연결, 23번은 교점 개수의 해석이 중심입니다. 막힌 원인이 계산인지 조건 해석인지 구별하면 복습 방향을 구체적으로 정할 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 연결되는 미적분

도함수의활용은 접선, 운동 방향, 항상 성립하는 부등식, 평균값 정리, 최대·최소를 폭넓게 다룹니다. 특히 5·7번의 부등식과 13번의 도형 문제는 서로 달라 보여도 함수를 설정하고 도함수의 부호로 최솟값이나 최댓값을 판단한다는 공통점이 있습니다.

미분계수와도함수에서는 2번의 연결 조건이 17번의 근 개수 판단으로 확장됩니다. 10번은 그래프에서 함수값과 접선 기울기를 구별하고, 20번은 접한다는 조건을 인수의 중복으로 읽어야 합니다. 계산 공식과 그래프의 의미를 따로 공부하지 않는 편이 좋습니다.

정적분은 주어진 등식을 미분하거나 적분값을 상수로 놓는 변형이 중요합니다. 정적분의활용에서는 8번의 기본 넓이에서 14번의 접선 조건, 16번의 위치 비교, 21번의 대칭과 넓이 관계로 이어집니다. 적분식을 쓰기 전에 구간과 부호를 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 정적분 중심에서 미분 활용 중심으로

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항과 서술·단답형 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 줄고 보통과 어려움은 늘었습니다. 어려움 문항 수의 변화뿐 아니라 기본 계산만으로 마무리되는 문항이 줄었다는 점도 준비에 반영할 필요가 있습니다.

작년의 정적분은 8문항, 도함수의활용은 7문항이었으나 올해는 각각 4문항과 10문항입니다. 미분계수와도함수도 작년 1문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다. 작년의 단원별 비중만 따르기보다 미분가능성, 접선, 극값 해석을 충분히 연습하세요.

작년 어려움은 15·17·18·19·20·22·23번이고 올해는 13·16·17·18·19·20·21·23번입니다. 올해는 어려움이 더 앞에서 등장하고 후반에 연속됩니다. 다음 시험 대비에서는 적분의 기본기를 유지하면서 미분 조건을 그래프와 근의 개수로 옮기는 연습을 보강하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건 변환 과정이 두드러지는 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 필요한 조건을 얻는 단계와 그 조건이 충분한지 검증하는 단계가 나뉩니다. 후보를 정한 뒤 구간 전체, 접점 순서, 교점 개수로 돌아가 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 보통 문항을 안정적으로 처리하고 13번에서 도형 설정이 길어지면 표시한 뒤 넘어가세요. 14·15번과 서술·단답형 22번도 먼저 살펴볼 만합니다. 후반의 어려움 문항에 시간을 모두 쓰기 전에 전체 문항의 접근 가능성을 확인하세요.

구간과 부호는 계산 전에 표시하세요. 2·17번은 연결점의 연속성과 미분계수를 함께 보고, 12번은 누적 적분값의 부호를 유지해야 합니다. 16번은 속도의 식이 바뀌는 구간에서 위치가 이어지도록 구성하고 원점에서의 거리와 좌표의 관계를 확인하세요.

검토 시간에는 조건의 누락을 찾으세요. 5번은 엄격한 부등호, 17번은 근의 유효 구간과 중복, 20번은 절댓값 내부의 부호 변화가 중요합니다. 22번은 대입과 미분으로 얻은 관계를 구분해 적고, 21·23번은 구한 함수가 교점 조건을 만족하는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산과 넓이의 부호부터 점검하세요. 교점으로 구간을 정하고 위아래 함수를 표시하는 풀이를 익히세요(1·8번 대비).
2. 연속과 미분가능성, 곱의 미분법을 복습하세요. 함수값과 접선 기울기를 구별하고 항등식을 미분하는 근거를 적으세요(2·10·15·22번 대비).
3. 항상 성립하는 부등식을 최대·최소 문제로 바꾸세요. 끝점과 내부 극점을 비교하고 평균값 정리의 적용 조건도 정리하세요(5·7·9·13번 대비).
4. 적분 등식은 미분하거나 일정한 적분값을 상수로 두어 정리하세요. 누적 적분 함수에서는 피적분함수의 부호로 증감을 판단하세요(6·11·12번 대비).
5. 운동 문제는 위치·속도·변위의 관계를 먼저 쓰세요. 구간별 적분에서 앞 구간의 누적값을 연결하는 연습을 하세요(4·16번 대비).
6. 근의 개수와 절댓값 그래프를 함께 연습하세요. 근의 중복, 극값, 미분불가능한 지점을 그림과 인수 구조로 설명하세요(17·18·19·20·23번 대비).
7. 접선과 대칭을 넓이 조건으로 옮기는 연습을 마무리하세요. 적분구간과 같은 넓이의 대응을 정한 뒤 계산하세요(14·21번 대비).