자양고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

자양고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

자양고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이번 시험의 출제 범위는 함수의 극한과 연속에서 미분계수·도함수, 접선과 평균값 정리까지입니다. 극한과 연속의 기본 정의를 묻는 문항에서 출발해, 도형의 길이와 교점 개수를 함수로 나타내는 문항까지 이어집니다.

초반에는 연속함수의 연산, 그래프의 한쪽 극한, 사잇값 정리 등을 확인합니다. 이후에는 절댓값을 포함한 극한의 존재 조건이나 구간별 함수의 미분가능성처럼 조건을 여러 단계로 해석해야 합니다. 공식을 아는 것과 그 공식을 적용할 수 있는 상황인지 판단하는 것을 함께 연습해야 합니다.

객관식은 1~12번과 16번이고, 서술·단답형은 13~15번과 17~21번입니다. 뒤쪽에도 기본 유리화와 곱의 미분법으로 접근할 수 있는 문항이 있으므로, 앞의 어려운 문항을 모두 해결한 뒤에야 다음 번호로 가는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 1·2번에서 연속의 성질과 그래프 읽기를 확인한 뒤, 3~9번에서는 인수분해·정리의 적용·미분계수의 정의를 연결합니다. 보통 구간에서도 분모의 부호나 접점 후보의 범위를 놓치면 계산을 다시 해야 하므로, 처음 세운 조건을 짧게 남기세요.

10~18번은 자동 분류 기준 어려움이 연속되는 구간입니다. 교점 사이 거리, 절댓값 극한, 부등식, 주기함수, 구간별 함수 등 접근 방법이 바뀝니다. 한 가지 계산법을 반복하는 구간이 아니므로 문항마다 먼저 그래프가 필요한지, 인수 조건이 필요한지 구별해야 합니다.

19번은 자동 분류 기준 쉬움이고 21번은 보통입니다. 20번의 거리 차 극한에서 막히더라도 뒤의 접선 문항까지 확인하세요. 끝번호를 모두 같은 난이도로 묶어 생각하면 해결 가능한 문항을 남길 수 있습니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 그래프와 미분 연결

가장 많은 단원은 함수의극한입니다. 그래프에서 값을 읽는 2번과 유리화하는 19번을 바탕으로, 교점·도형의 길이를 먼저 식으로 만들어야 하는 10·15·18·20번까지 확장됩니다. 극한 계산만 많이 풀기보다 계산할 식을 직접 만드는 연습을 함께 해야 합니다.

연속 단원은 연산의 성질, 인수의 소거, 사잇값 정리, 제곱한 함수의 연속, 교점 개수로 주제가 달라집니다. 미분계수와도함수에서는 그래프의 연속성과 좌우 미분계수를 함께 확인해야 합니다. 도함수의활용에 속한 5·6번은 각각 평균값 정리와 공통 접선의 조건을 점검하는 데 적합합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 광진구의 극한 중심 시험

같은 2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학II를 치른 광진구 학교들과 비교하면, 이웃 학교 평균은 총 23문항, 서술·단답형 3.5문항입니다. 자양고는 총 21문항이지만 서술·단답형이 8문항이어서, 문항 수만 보고 답안 작성 부담이 적다고 판단하기 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 자양고 48%로, 이웃 학교 평균 35%보다 높으며 비교 대상 3개교 중 1위입니다. 가장 많은 단원은 모두 함수의극한으로 같습니다. 따라서 단원 이름의 차이보다 자양고 문항에서 요구하는 조건 정리와 서술 과정을 얼마나 빠짐없이 수행하는지에 초점을 맞추세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확정한 것이 아니라 분석상 고난도 문항으로 선정했습니다. 공통점은 첫 조건에서 얻은 정보를 다음 판단에 다시 사용한다는 것입니다. 중간에 확보한 인수 구조, 연속 조건, 경계 높이를 표시해 두면 같은 계산을 반복하거나 조건을 누락하는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~9번에서 접근이 바로 보이는 문항을 해결하고, 10번 이후에는 풀이의 출발점이 보이는지 확인하세요. 도형의 설정이나 그래프 분기가 정리되지 않는 문항은 필요한 그림과 조건만 남긴 뒤 넘어가세요. 19·21번까지 살펴 해결 가능한 문항을 확보한 후 남긴 문항으로 돌아가는 흐름을 권합니다.

서술·단답형에서는 계산 결과만 남기기보다 근거가 되는 조건을 함께 적는 연습이 필요합니다. 13번은 음수로 나눌 때 부등호 방향을 바꾸는 과정, 16번은 연속 확인 후 좌우 미분계수 비교, 18·20번은 좌표와 거리식을 만드는 과정을 남기세요. 답안에 필요한 식을 처음부터 정돈하면 옮겨 적는 시간을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 6번의 상수 부호 조건, 8번의 제곱한 함수에 대한 연속 조건, 14번의 평행이동 방향, 15·17번의 경계에서의 교점 개수를 확인하세요. 18·20번은 매개변수가 어느 방향에서 접근하는지도 중요합니다. 그래프의 점 표시와 극한의 접근 방향을 따로 확인하는 습관을 들이세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 연속과 극한의 기본 조건부터 점검하세요. 그래프의 좌우 접근과 몫의 분모 조건을 설명하는 연습을 합니다(1·2번 대비).
2. 분모가 영으로 가는 극한에서 분자의 조건을 찾고 인수를 구성하세요. 무리식 유리화까지 이어서 연습합니다(3·9·19번 대비).
3. 정리와 미분계수의 정의를 식에 연결하세요. 평균값 정리의 구간 조건, 접선의 접점 조건, 곱의 미분법을 함께 복습합니다(4·5·6·7·21번 대비).
4. 절댓값과 구간별 함수를 좌우로 나누세요. 연속 여부를 먼저 확인한 뒤 미분가능성을 판단하는 순서를 익힙니다(8·11·12·16번 대비).
5. 주기·평행이동·수평선을 이용해 그래프를 정리하세요. 교점 개수는 경계와 그 사이 구간을 나눠 기록합니다(14·15·17번 대비).
6. 부등식과 도형을 극한식으로 바꾸세요. 부호에 따른 경우 구분, 원의 방정식의 차, 거리 차의 유리화를 각각 연습한 뒤 시간 안에 풀이를 정리합니다(10·13·18·20번 대비).