잠신고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

잠신고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 극한 계산과 그래프 읽기에서 출발해 연속성으로 미지수를 정하고 미분계수의 정의와 다항식 조건을 결합하는 시험입니다.

초반에는 평균변화율, 인수분해를 이용한 극한, 미분 공식 등 기본 개념이 나옵니다. 그러나 합성함수에서는 안쪽 함숫값이 어느 쪽에서 접근하는지까지 읽어야 합니다. 쉬운 계산을 처리하는 능력과 기호로 주어진 조건을 구간별로 해석하는 능력을 함께 준비해야 합니다.

후반에는 함수식을 바로 주지 않고 극한의 존재나 연속 조건으로 복원하는 문항이 이어집니다. 분모가 사라진다는 사실을 인수 조건으로 옮긴 뒤, 약분하고 남은 분모까지 확인하는 흐름이 중요합니다. 미분 공식만 반복하기보다 왜 그 인수가 필요한지 설명하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~4번입니다. 평균변화율과 접선 기울기의 연결, 유리식의 인수분해, 다항함수의 미분, 그래프에서 합성함수의 극한 읽기를 다룹니다. 특히 4번은 분류가 쉬움이어도 입력의 접근 방향이 안쪽 함수의 출력에서 달라질 수 있으므로 방향 표시를 생략하지 마세요.

보통은 5·6·8·10번입니다. 부등식으로 극한을 좁히거나 발산하는 함수와 유한한 값을 갖는 결합식을 분리하고, 조각함수의 경계 조건을 맞추는 유형입니다. 7·9번에서 풀이가 길어져도 8·10번을 확인해 접근 가능한 문항을 확보할 필요가 있습니다.

11~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 극한으로 다항식을 결정하는 문항, 연속과 미분가능성을 연결하는 문항, 구간별 그래프를 복원하는 문항이 이어집니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도 순위가 아니며, 풀이의 어느 단계에서 시간이 걸리는지 판단하는 참고로 활용하세요.

출제 단원 — 함수의극한을 중심으로 이어지는 인수 조건

함수의극한은 2·4·5·8·11·12·13·16·19번입니다. 기본적인 약분이나 대소 관계뿐 아니라 도형의 넓이를 식으로 표현하는 과정, 극한의 존재로 다항식의 근과 중복도를 제한하는 과정까지 포함합니다. 계산 연습과 함수의 형태를 추론하는 연습을 나누어 준비하세요.

함수의연속은 6·9·10·15·17·21번입니다. 경계의 좌극한·우극한·함숫값을 맞추는 기본형에서 합성함수와 구간별 함수 선택으로 확장됩니다. 17번은 사잇값의 정리를 이용한 실근의 존재와 증가성을 함께 살펴야 하므로, 연속이라는 말만으로 결론을 내리지 않도록 주의하세요.

미분계수와도함수는 1·3·7·14·18·20번입니다. 기울기 해석에서 시작해 미분가능성이 요구하는 연속 조건, 변형된 차분 몫, 다항함수의 항등식까지 연결됩니다. 단원별 학습 뒤에는 11·14·18번처럼 극한과 미분의 경계에 있는 유형을 묶어 복습하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 미분 중심에서 극한 중심으로

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 전체 문항과 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 늘고 보통은 줄었습니다. 형식상 서술·단답형이 적어졌다는 이유만으로 풀이 부담이 가벼워졌다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 미분계수와도함수가 10문항으로 가장 많았고, 함수의극한은 7문항, 함수의연속은 5문항이었습니다. 올해는 함수의극한이 9문항으로 가장 많으며 나머지 단원은 각각 6문항입니다. 같은 범위라도 미분 공식에 치우치지 말고 극한으로 인수 조건을 얻는 유형까지 준비하세요.

작년의 어려움은 11~17번과 21·22번에 있었지만 올해는 7·9번에서 시작해 11~21번에 이어집니다. 작년 서술·단답형의 18~20번은 쉬움 또는 보통이었으나 올해 17·18번은 모두 어려움입니다. 번호 순서나 형식만으로 풀이 순서를 고정하지 않는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설에서 확인되는 조건 처리 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 단일 문항의 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 공통적으로 변형 전후의 적용 조건을 확인해야 합니다. 경우를 나눈 이유와 제외한 후보의 이유를 한 줄씩 남기면 복습할 때 계산 오류와 해석 오류를 구분할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 구조를 확인하고, 7·9번에서 정체되면 표시한 뒤 8·10번과 나머지 문항을 살펴보세요. 11번 이후에는 어려움 분류가 이어지므로 모든 문항을 같은 속도로 밀어붙이기 어렵습니다. 연습 때는 조건을 식으로 바꾸는 데 걸린 시간과 계산 시간을 구별해 기록하세요.

서술·단답형인 17·18번은 풀이의 출발점을 짧게 적어 두는 것이 좋습니다. 17번은 연속성과 증가성 및 열린구간의 끝점을, 18번은 공통 기준점과 입력 변화량을 먼저 표시하세요. 그 뒤에도 19~21번이 남아 있으므로 서술·단답형을 끝부분이라고 생각하고 시간을 모두 쓰지 않도록 전체 구성을 확인하세요.

마지막 검토에서는 계산을 처음부터 반복하기보다 누락한 조건을 찾으세요. 4·9번은 안쪽 함수의 접근 방향과 실제 함숫값, 11·12·14·16·19번은 약분 뒤 남는 분모와 근의 중복, 17번은 끝점 포함 여부를 살피세요. 21번은 불연속 후보 지점에서 곱 전체의 좌우극한과 함숫값이 실제로 다른지 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균변화율과 미분계수의 기하적 의미부터 정리하세요. 할선과 접선의 기울기를 구별하고 합 기호를 풀어 미분하는 기본형을 익히세요(1·3·7번 대비).
2. 인수분해와 유리화, 대소 관계를 이용한 극한을 복습하세요. 유한한 결합식과 발산하는 부분을 나누어 식을 정리하는 연습도 포함하세요(2·5·8·10번 대비).
3. 합성함수는 안쪽 출력의 값과 접근 방향을 화살표로 적으세요. 일정한 구간과 움직이는 구간을 구별하고 실제 함숫값까지 비교하세요(4·9번 대비).
4. 극한의 존재와 연속 조건을 인수 조건으로 바꾸세요. 후보를 만든 뒤 중복근과 남는 분모를 재검사하는 순서를 반복하세요(11·12·14·16·19번 대비).
5. 조각함수와 교점 문제를 그래프로 설명하세요. 경계의 좌우극한, 최댓값·최솟값, 열린구간의 끝점을 구별하세요(6·13·15·17·21번 대비).
6. 변형된 차분 몫과 다항함수 항등식을 연습하세요. 기준점과 변화량을 명시한 뒤 미분계수 또는 계수 비교로 연결하세요(18·20번 대비).