단국대학교사범대학부속고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

단국대학교사범대학부속고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 극한의 기본 계산부터 조각함수의 연속성, 미분계수의 정의와 접선까지 다룹니다.

이 시험에서는 원래 함수의 계산과 새로 정의된 함수의 해석을 구별해야 합니다. 교점의 개수를 함수로 두면, 원래 그래프의 꼭짓점이나 구간의 끝점이 개수 변화의 기준이 됩니다. 방정식을 푸는 데서 끝내지 말고 입력값이 변할 때 교점이 어떻게 생기고 사라지는지 살펴야 합니다.

서술·단답형이 마지막에만 모여 있지 않은 구성도 눈여겨볼 부분입니다. 16·17번에서 도형과 다항함수의 조건을 처리하고, 18번 뒤에는 극한과 미분의 표준 개념을 연결하는 문항이 놓여 있습니다. 자동 분류 기준을 참고하되 실제 풀이에서는 자신의 접근 가능성을 먼저 판단하세요.

난이도 분포 — 중반에 이어지는 조건 해석의 부담

쉬움으로 분류된 1·2번은 미분 공식과 미분계수의 정의를 확인합니다. 보통인 3~6번에서는 연속 조건, 정의역, 무한대에서의 극한, 접선과 넓이를 다룹니다. 기본 개념을 곧바로 적용할 수 있어야 중반 그래프 문항에 쓸 시간을 확보할 수 있습니다.

7~18번은 자동 분류 기준 어려움 구간입니다. 좌우극한을 구별하는 판단, 매개변수에 따른 교점 개수 변화, 도형의 위치 관계, 도함수의 실근 조건처럼 경우를 나누는 작업이 이어집니다. 같은 구간에서도 계산형과 그래프형의 접근법이 다르므로 막힌 유형을 표시하고 넘어갈 필요가 있습니다.

19~22번은 모두 보통으로 분류되어 있습니다. 다항식 결정, 곱의 미분법, 부등식으로 미분계수를 구하는 구조가 중심이므로 마지막까지 확인하세요. 이 분포는 자동 분류 결과이며, 개별 학생의 체감 난도는 미분계수의 정의와 그래프 해석에 얼마나 익숙한지에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분 연결

가장 많은 함수의극한에서는 단순한 대입보다 조건의 재해석이 중요합니다. 5번은 발산하는 함수로 식을 나누는 방식, 10·19·21번은 극한의 존재를 다항식의 인수나 계수 조건으로 바꾸는 방식입니다. 8·14·15번에서는 교점 개수로 정의된 함수의 변화를 읽어야 합니다.

함수의연속은 식이 이어지는지 확인하는 유형에서 출발해 그래프와 도형으로 확장됩니다. 7번은 함수의 합과 곱의 연속성을 따로 검토하고, 11번은 교점 개수의 불연속을 해석합니다. 16번의 도형 조건과 17번의 다항함수 조건처럼 분류 단원 이외의 개념을 함께 쓰는 문항도 있습니다.

미분계수와도함수에서는 공식 계산만 준비해서는 부족합니다. 12번은 주어진 극한이 미분계수의 정의에 맞는지 판단하고, 18번은 평균변화율 조건을 함수의 대소와 최댓값 조건으로 옮깁니다. 20·22번은 곱의 미분법과 좌우에서의 부등식 처리를 익혀 두면 접근 방향을 정하기 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설과 수식의 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인한 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 변화가 생기는 경계와 유효한 범위를 정해야 합니다. 그래프나 도형 옆에 경우를 나누는 기준을 적어 두면 검토할 때도 조건 누락을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 개념을 정확히 처리하고, 중반에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 뒤쪽도 확인하세요. 7~18번을 모두 해결한 다음 마지막 문항으로 넘어가려 하면 접근 가능한 문제의 풀이 시간이 줄어들 수 있습니다. 특히 19~22번은 자동 분류 기준 보통이므로 초기에 구조를 확인할 가치가 있습니다.

교점 개수 문항에서는 그래프를 그리는 시간을 풀이의 일부로 잡으세요. 8·11·14·15번은 경계의 높이와 끝점 표시를 생략하면 같은 계산을 반복하기 쉽습니다. 16번은 접하는 경우와 꼭짓점을 지나는 경우를 구별하고, 각 경계에서 실제 교점 개수를 별도로 적어 두세요.

마지막 검토에서는 계산을 전부 다시 하기보다 조건을 점검하세요. 9번은 근이 해당 조각의 정의역에 속하는지, 12번은 차분몫에 기준점의 함숫값이 반영되었는지 확인합니다. 17번은 치환한 변수의 부호, 18번은 등호 성립, 22번은 음수로 나눌 때의 부등호 방향을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분 공식과 미분계수의 정의를 연결하세요. 증분을 치환할 때 분자와 분모를 맞추고 배율을 설명하는 연습부터 시작하세요(1·2·20번 대비).
2. 극한의 존재를 분자의 인수 조건으로 바꾸세요. 무한대에서 차수를 비교하는 유형과 유한한 점에서 약분하는 유형을 이어서 풀어 보세요(3·5·10·19·21번 대비).
3. 연속과 미분가능의 조건을 각각 정리하세요. 함숫값, 좌우극한, 좌우미분계수를 표로 확인하고 잘못된 명제에는 반례를 생각하세요(4·7·12·22번 대비).
4. 교점 개수로 정의한 함수는 원래 그래프부터 그리세요. 꼭짓점과 경계의 높이를 표시하고 값과 좌우극한을 따로 정리하세요(8·11·14·15번 대비).
5. 도형 조건을 길이와 넓이의 관계로 바꾸세요. 접선, 닮음, 같은 길이를 찾아 식을 세우고 교점이 선분 안에 있는지 검토하세요(6·9·13·16번 대비).
6. 차수와 실근 조건을 이용하는 다항함수 문제를 연습하세요. 가능한 형태를 제한한 뒤 치환 변수의 범위와 중근 조건을 되돌아보세요(17번 대비).
7. 평균변화율 조건을 그래프의 대소와 최댓값으로 설명해 보세요. 비교 구간과 등호 성립 위치를 함께 표시한 뒤 식을 결정하세요(18번 대비).