압구정고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

압구정고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 확인된 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 극한의 성질과 계산을 바탕으로 연속성을 판단하고 미분계수의 정의와 도함수로 확장하는 범위입니다.

초반에도 단순 대입만으로 해결되지 않는 조건 해석이 등장합니다. 발산하는 함수들의 관계를 정리하거나, 부등식으로 극한을 좁히거나, 합성함수의 안쪽 함숫값이 어느 방향에서 접근하는지 추적해야 합니다. 식의 형태를 고르기 전에 적용할 개념을 정하는 연습이 필요합니다.

후반에서는 개별 함숫값보다 함수의 전체 구조를 읽는 능력이 중요해집니다. 불연속점이나 교점의 개수를 매개변수의 함수로 바꾸고, 절댓값에서 생기는 꺾임과 구간별 정의의 접합 조건을 점검합니다. 반면 기본 미분과 사잇값의 정리도 출제되어, 복잡한 문항에만 시간을 쓰지 않는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 어려움 문항은 객관식에 배치

쉬움으로 분류된 1·7·10·11번은 극한의 약분, 실근이 있는 구간, 접선의 기울기, 미분 공식과 연결됩니다. 서술·단답형의 17·21번도 쉬움에 속합니다. 다만 21번은 정리의 적용 근거를 보여야 하므로 계산이 짧다는 이유로 설명까지 생략하지 마세요.

보통 문항에서는 접근 방향과 조건의 전환이 관건입니다. 4번은 음의 무한대에서 근호의 부호를, 5번은 합성함수 안쪽의 접근 방향을 구별해야 합니다. 18~20번도 보통이지만 각각 무리식의 정리, 좌우 극한 비교, 도형의 좌표화가 필요해 같은 방식으로 처리하기 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움은 9번에서 처음 등장하고 12번, 14~16번, 22번으로 이어집니다. 특히 객관식 뒤쪽에만 몰린 구성이 아니므로 막힌 문제를 잠시 넘기는 판단이 중요합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니라 학습 순서와 검토 지점을 잡는 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 극한의 비중과 연속성의 조건 해석

함수의극한은 1~5번과 12·15·18·19·20번에 분포합니다. 앞부분의 통분·차수 비교·대소 관계를 익힌 뒤, 극한이 존재하도록 식의 구조를 정하거나 도형 조건을 극한식으로 바꾸는 문제까지 확장해야 합니다. 특히 15번은 계산보다 교점 개수가 바뀌는 상황을 분류하는 일이 먼저입니다.

함수의연속은 6·7·8·9·14·21·22번입니다. 사잇값의 정리를 적용하는 기본형과 합성·곱의 연속성을 판단하는 문제가 함께 있습니다. 14번에서는 불연속점의 개수를 새로운 함수로 보고, 22번에서는 역수 형태의 연속성과 다항식의 차수를 연결하므로 정의와 성질을 식으로 표현하는 연습이 필요합니다.

미분계수와도함수는 10·11·13·16·17·23번입니다. 공식에 따른 계산, 거리 조건에서 미분계수를 읽는 과정, 구간별 함수의 미분가능성 판단이 포함됩니다. 도함수 계산을 마쳤다고 끝내지 말고 연속성과 좌우 미분계수의 일치를 별도로 확인하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 경계와 경우를 정해야 한다는 것입니다. 풀이를 시작할 때 값이 바뀌는 원인을 적고, 각 경계의 함숫값과 좌우 상태를 따로 기록해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 통분·기본 미분·사잇값의 정리처럼 출발점이 보이는 문제를 먼저 해결하세요. 9번이나 12번에서 조건 정리가 길어지면 표시해 두고 다음 문항을 살펴보세요. 특히 14~16번을 모두 해결한 뒤에만 서술·단답형으로 넘어가겠다고 정하면 기본형인 17·21번을 검토할 시간이 줄어들 수 있습니다.

서술·단답형에서는 정리를 적용한 이유와 변형 조건을 짧게 남기세요. 18번은 극한의 존재로 얻는 조건, 19번은 입력 범위를 나눈 근거, 20번은 거리 조건을 좌표로 옮기는 과정을 적는 연습이 필요합니다. 21번은 차이 함수의 연속성과 끝점의 부호를 연결해야 하며 실근을 직접 구하는 계산에 시간을 쓸 필요가 없습니다.

마지막에는 접근 방향과 예외를 중심으로 검토하세요. 4번의 근호 부호, 5·9번의 합성함수 접근 방향, 12번의 도함수가 사라지는 경우, 14·15번의 끝점과 중복이 주요 확인 지점입니다. 22번에서는 역수의 분모가 사라지지 않는 조건을, 23번에서는 연속성 검사와 미분가능성 검사를 각각 수행했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 통분·인수분해·유리화로 극한식을 정리하는 기본형을 먼저 익히세요. 변형하기 전에는 대입 결과와 분모의 상태를 확인하세요(1·4·18번 대비).
2. 발산하는 식의 비와 부등식의 극한을 연습하세요. 크기 비교에 사용할 식과 부등호를 유지할 부호 조건을 먼저 정리하세요(2·3번 대비).
3. 그래프에서 함숫값과 좌우 극한을 분리해 읽으세요. 합성함수에서는 안쪽 출력의 접근 방향을 표시한 뒤 바깥 함수를 보세요(5·9·19번 대비).
4. 연속함수의 성질과 사잇값의 정리를 설명하는 연습을 하세요. 성질의 역방향 추론은 반례로 점검하고, 존재 증명은 연속성과 부호 변화로 정리하세요(6·7·8·21번 대비).
5. 기본 미분에서 평균변화율의 극한으로 확장하세요. 구간별 함수는 연속성과 좌우 미분계수를 차례로 확인하세요(10·11·13·17·23번 대비).
6. 경계별 경우 나누기를 집중 연습하세요. 근의 구조, 개수 함수의 변화, 절댓값의 부호를 표나 간단한 그래프로 정리한 뒤 조건을 적용하세요(12·14·15·16·22번 대비).
7. 도형의 극한은 움직이는 점의 좌표부터 설정하세요. 거리 조건과 직선식을 구한 뒤 생기는 무리식을 정리하고 접근 방향을 검토하세요(20번 대비).