단국대학교사범대학부속고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

단국대학교사범대학부속고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 부정적분, 도함수의활용, 정적분, 정적분의활용, 미분계수와도함수입니다. 미분을 이용한 함수 분석과 적분의 계산·활용을 함께 준비해야 하는 범위입니다.

초반에는 부정적분의 계수 비교, 극값 계산, 운동 방향, 정적분과 넓이의 기본형이 나옵니다. 이후에는 극한에서 인수 조건을 얻거나, 움직이는 도형의 넓이를 함수로 만들거나, 실근의 개수를 그래프의 교점으로 바꾸는 판단이 필요합니다.

적분 단원도 원시함수를 구하는 데서 끝나지 않습니다. 적분으로 정의한 함수의 극값과 전 구간에서 성립하는 조건을 읽는 능력이 중요합니다. 풀이를 시작할 때 주어진 조건이 함수값에 관한 것인지, 도함수의 부호에 관한 것인지 구별해 적어 두세요.

난이도 분포 — 중후반의 조건 연결에 대비

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·4·5·6번입니다. 부정적분과 정적분의 기본 계산, 극대·극소, 운동과 넓이의 출발 개념을 확인합니다. 이 문항들은 빠르게 처리하되 적분 구간과 부호 조건을 생략하지 않는 것이 중요합니다.

보통에는 3·8·9·10·11·14·19·21번이 포함됩니다. 감소 구간, 실근 개수, 역함수의 넓이, 적분을 포함한 극한 등으로 주제가 다양합니다. 특히 19·21번은 서술·단답형이지만 보통으로 분류되므로, 후반이라는 이유로 처음부터 미루지 마세요.

어려움은 7번 이후에 흩어져 있으며 12~18번 사이에 자주 등장합니다. 20번과 마지막 객관식 22번도 포함됩니다. 이는 자동 분류 기준의 분포이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 계산보다 조건 해석이 길어질 수 있는 구간은 미리 표시해 두세요.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 결합

가장 많은 도함수의활용은 극대·극소와 증가·감소뿐 아니라 실근 개수, 운동, 도형의 최대 넓이까지 아우릅니다. 8·17·19번은 모두 교점 해석과 연결되지만, 수평선의 높이와 원점을 지나는 직선의 기울기 중 무엇이 변하는지에 따라 접근을 달리해야 합니다.

정적분은 5·11·14·18·20번입니다. 적분값으로 미지수를 정하는 기본형에서 시작해 적분을 포함한 극한, 절댓값과 극값 조건, 모든 실수에서의 부등식으로 확장됩니다. 정적분을 함수값의 차로 볼지, 미분해서 원래 함수를 읽을지 먼저 결정하세요.

정적분의활용은 6·9·10·15·21번입니다. 넓이에서는 위아래 관계와 대칭성, 운동에서는 속도의 부호가 계산의 기준입니다. 별도 단원인 22번의 미분가능성과 연속성도 접합 지점의 조건을 해석한다는 점에서 후반 함수 분석과 함께 복습할 만합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 서술·단답형 증가

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 14문항에서 9문항으로 줄었지만, 서술·단답형은 21번만 있던 구성에서 17~21번으로 늘었습니다. 난이도 분포의 변화와 직접 풀이를 정리해야 하는 형식의 변화를 함께 보아야 합니다.

도함수의활용은 작년 11문항에서 올해 10문항으로 여전히 가장 많습니다. 정적분은 3문항에서 5문항, 정적분의활용은 4문항에서 5문항이 되었고 부정적분은 3문항에서 1문항으로 줄었습니다. 적분에서는 기본 계산을 넘어 조건 해석과 활용까지 묶어 연습할 필요가 있습니다.

작년에는 9~20번이 모두 어려움으로 분류되었으나 올해는 그 사이에 보통 문항이 섞여 있습니다. 마지막 22번은 두 해 모두 어려움입니다. 올해 분포에 맞추어 풀 수 있는 후반 문항을 골라내고, 적분으로 정의된 함수의 부호 분석을 서술하는 연습을 추가하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건을 수학적 구조로 바꾸는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 난도 순위를 확정한 것은 아닙니다. 공통적으로 경계를 먼저 정하고, 그 경계에서 함수값이나 도함수의 부호가 어떻게 연결되는지 확인하는 과정이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 기본 계산과 그래프가 바로 떠오르는 문항을 확보하세요. 7번에서 조건 연결이 길어지면 표시하고 8~11번으로 넘어가는 연습이 좋습니다. 12번 이후에도 보통 문항이 있으므로 어려운 문항을 번호순으로 모두 해결하려고 시간을 소모하지 마세요.

서술·단답형 17~21번은 시작할 때 필요한 근거를 짧게 남겨 두세요. 17번은 교점 개수가 달라지는 높이, 18번은 인수별 부호표, 20번은 차수 제한의 이유를 먼저 적으면 계산 방향을 유지하기 쉽습니다. 연습에서는 조건 해석에 쓴 시간과 계산에 쓴 시간을 나누어 기록해 보세요.

마지막 검토에서는 범위와 부호를 우선 확인하세요. 4번은 시각의 범위, 10번은 변위와 거리의 구별, 13번은 구간 전체의 부등식, 16번은 열린구간의 경계가 중요합니다. 18·20번은 도함수가 사라지는 것만 확인하지 말고 극값의 유무까지, 22번은 연속과 미분가능 조건을 따로 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 정적분 계산을 복습하고, 적분상수와 구간 끝점 조건을 분리해 적으세요. 기본형에서 조건을 누락하지 않는 것이 출발점입니다(1·5·14번 대비).
2. 도함수의 부호표로 증가·감소와 극값을 설명하세요. 방정식으로 얻은 후보를 구간 전체의 조건에 대입해 걸러 내는 연습까지 이어 가세요(2·3·7·13번 대비).
3. 실근 개수를 곡선과 직선의 교점으로 바꾸세요. 수평선의 높이가 변하는 경우와 직선의 기울기가 변하는 경우를 구별하고 접점에서의 중복을 확인하세요(8·17·19번 대비).
4. 넓이와 운동은 계산 전 그림이나 부호표를 만드세요. 대칭성을 활용하되 위아래 관계를 확인하고, 변위와 이동 거리는 별도로 적분하세요(4·6·9·10·21번 대비).
5. 움직이는 도형과 구간별 함수의 넓이를 매개변수의 함수로 표현하세요. 적분 경계를 확정한 뒤 미분하고 허용 범위에서 최대 여부를 확인하세요(12·15번 대비).
6. 적분으로 정의된 함수는 미분과 함수값 차를 모두 활용해 보세요. 모든 실수에서 성립하는 조건과 극값 조건이 각각 무엇을 제한하는지 설명하세요(11·18·20번 대비).
7. 접합 지점에서 함수값과 좌우 미분을 차례로 비교하세요. 중복 인수 조건을 찾는 연습과 식이 전환될 수 있는 위치를 추적하는 연습을 묶으세요(16·22번 대비).