언남고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

언남고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한과 연속의 기본 판단에서 출발하여 접선, 평균값 정리, 롤의 정리까지 연결되는 구성입니다.

초반에는 유리화, 미분계수의 정의, 접선의 기울기 등 출발 방법이 비교적 뚜렷한 문항이 있습니다. 중반부터는 연속 조건을 방정식으로 바꾸거나 함수값의 부호로 실근의 존재를 읽어야 합니다. 계산에 들어가기 전에 어떤 조건을 어떤 개념으로 바꿀지 정하는 과정이 중요합니다.

객관식 후반에서는 명제 판단, 도형 해석, 불연속점의 개수처럼 조건을 여러 단계로 처리합니다. 서술·단답형은 계수 결정과 정리의 적용 근거를 정리하는 연습에 활용하기 좋습니다. 식을 얻는 과정과 얻은 후보가 조건에 맞는지 확인하는 과정을 함께 준비하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 어려움

쉬움은 1·2·3·4·7·22번입니다. 연속의 정의, 미분계수와 기울기의 해석, 유리화 등 기본 개념을 확인합니다. 특히 22번은 서술·단답형이므로 형식만 보고 어려울 것이라고 판단하기보다 정리의 가정을 빠르게 확인하는 편이 좋습니다.

보통 문항은 5·6번과 8~13번, 19·20·21·23번에 있습니다. 이 구간에서는 연속 조건을 판별식으로 옮기거나 평균값 정리로 범위를 제한하는 등 개념을 한 번 더 변환해야 합니다. 21번처럼 항상 성립한다는 요구가 있으면 충분한 조건을 찾은 뒤 경계의 예외도 검토하세요.

14~18번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 계산량뿐 아니라 반례 구성, 교점 해석, 구간별 판단이 부담을 만듭니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니며, 후반에 묶인 문항의 접근 방식을 미리 익히는 지표로 활용하세요.

출제 단원 — 연속 조건과 극한 해석의 비중

함수의연속은 정의역 확인, 조각함수의 경계, 유리함수의 분모, 사잇값 정리까지 폭넓게 다룹니다. 8·9번은 연속 조건을 방정식의 실근 문제로 바꾸며, 16번은 정수점의 연속 여부를 직선과 포물선의 교점으로 옮깁니다. 연속을 단순한 대입 문제로만 연습해서는 대응 범위가 좁아집니다.

함수의극한은 3번의 기본 계산에서 14번의 명제와 18번의 다항식 구조 해석으로 이어집니다. 같은 극한이라도 유리화가 필요한지, 극한 법칙의 가정을 따져야 하는지, 지배적인 항을 비교해야 하는지 구분하세요. 식의 생김새보다 접근하는 지점과 주어진 조건을 먼저 읽는 연습이 필요합니다.

미분 관련 단원은 극한 및 그래프 해석과 연결됩니다. 6번은 곱의 미분법을 차분몫에 적용하고, 17번은 평균변화율 자체를 조각함수로 해석합니다. 도함수의활용에서는 12·22번의 정리 적용과 15·23번의 접선 조건을 구별해 연습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리 과정에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 문제의 조건을 다른 표현으로 옮겨야 한다는 것입니다. 접선은 교점과 거리로, 연속은 함수값의 일치로, 극한은 항의 차수 관계로 바꾸어 적는 연습을 권합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 확보하고 14~18번에 들어가기 전에 남은 서술·단답형을 확인하세요. 명제의 반례나 도형 관계가 바로 보이지 않으면 검토한 조건을 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 19~23번에도 접근 가능한 문항이 있으므로 객관식의 순서를 끝까지 고수할 필요는 없습니다.

연속과 실근 문항에서는 범위의 끝점을 먼저 표시하세요. 9번은 최고차항의 계수가 사라지는 예외, 10번은 보장되는 실근과 실제 근 개수의 차이, 21번은 열린구간 내부에 근이 있어야 한다는 조건이 중요합니다. 부호가 같다는 사실만으로 내부에 근이 없다고 결론 내리지 않도록 주의하세요.

마지막 검토에서는 풀이의 출발 조건을 다시 읽으세요. 17번은 약분 뒤에도 제외된 입력이 남고, 22번은 도함수의 근이 구간 내부에 있는지 걸러야 합니다. 23번은 원래 함수의 최댓값이 아니라 접선 기울기의 최댓값을 찾는 문제이므로, 어떤 함수를 최대화했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 연속의 정의와 극한의 기본 계산을 먼저 복습하세요. 정의역을 확인하고 유리화 전후의 식이 쓰이는 범위를 구별하세요(1·3번 대비).
2. 차분몫을 미분계수로 바꾸고 그래프의 할선과 접선을 구별하세요. 곱의 미분법과 대칭적인 입력도 함께 다루세요(2·6·7·11번 대비).
3. 조각함수와 유리함수의 연속 조건을 방정식으로 옮기세요. 판별식 적용 전에 차수가 바뀌는 경우를 분리하세요(8·9·20번 대비).
4. 사잇값 정리, 평균값 정리, 롤의 정리를 가정과 결론으로 나누어 적으세요. 실근의 존재와 상한의 달성 여부까지 확인하세요(10·12·21·22번 대비).
5. 극한 명제의 가정을 점검하고 다항함수의 최고차항·최저차항을 비교하세요. 주장에 맞는 증명과 반례를 구별해 연습하세요(5·14·18·19번 대비).
6. 구간별 그래프와 접선 조건을 함께 연습하세요. 교점 개수, 정수점의 연속성, 평균변화율의 정의역을 그림에 표시하세요(13·15·16·17·23번 대비).