보성고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

보성고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선 관련 도함수의 활용입니다. 기본 극한 계산과 미분 공식뿐 아니라 그래프로 정의된 조건을 읽는 능력까지 확인하는 구성입니다.

초반에는 평균변화율, 좌극한과 우극한, 연속 조건을 직접 적용하는 문제가 배치되어 있습니다. 이후에는 곱의 미분법, 구간별 함수의 미분가능성, 접선과 도형의 관계가 이어집니다. 같은 개념도 계산형에서 조건 해석형으로 바뀌므로 단원 이름만 보고 접근법을 정하기는 어렵습니다.

후반에는 교점 개수로 새 함수를 정의하거나 평균변화율의 최댓값을 다루는 문제가 있습니다. 원래 함수의 그래프와 그로부터 만들어진 함수의 그래프를 구별해야 합니다. 계산 결과를 얻은 뒤 해당 구간과 원래 조건에 맞는지 확인하는 단계까지 연습하세요.

난이도 분포 — 후반의 그래프 해석과 경우 분류

쉬움으로 분류된 1·2·4번은 평균변화율과 미분계수의 연결, 그래프에서의 편측 극한, 연속 조건을 다룹니다. 간단한 문제일수록 함숫값과 극한값을 혼동하지 않고 식의 의미를 정확히 읽어야 합니다. 보통 문항에서도 3번의 부등호 방향과 6번의 극한 성질처럼 적용 전제를 따지는 과정이 필요합니다.

10·11번 이후 12번은 보통으로 돌아오고 13·14번에서 다시 어려움이 나옵니다. 서술·단답형의 15·17번도 보통이므로 번호 순서가 곧 난도 순서는 아닙니다. 긴 경우 분류에 막혔다면 접근 가능한 계산형이나 접선 문항을 먼저 확인하세요.

이 난이도는 자동 분류 기준입니다. 어려움 문항의 공통 부담은 복잡한 전개보다 구간 설정과 경계 검토에 있습니다. 풀이 연습에서는 답을 얻는 시간과 조건을 검증하는 시간을 함께 확보해야 합니다.

출제 단원 — 극한·연속·미분의 고른 배치

함수의극한은 그래프 읽기와 대소 관계, 성질의 참·거짓 판단, 무리식의 극한을 포함합니다. 10·13번은 기하적 조건이나 교점 개수를 먼저 해석해야 극한 문제에 접근할 수 있습니다. 극한 단원이라고 해서 대입과 약분만 반복해서는 대비 범위를 충분히 채우기 어렵습니다.

함수의연속에서는 4·5번의 연결 조건이 14·19·20번의 복합적인 그래프 조건으로 이어집니다. 특히 절댓값을 취한 함수의 연속과 원래 함수의 연속은 구별해야 합니다. 미분계수와도함수에서는 차분몫의 해석, 곱의 미분법, 구간별 미분가능성을 연결해 복습하세요.

도함수의활용은 12·17번의 접선 문제입니다. 접선의 기울기만 구하고 끝내지 않고 다른 곡선과의 접촉이나 수직 관계를 좌표와 직선의 식으로 옮깁니다. 출제 비중은 작아도 도함수 계산을 도형 해석으로 연결하는 연습으로 활용할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 감소와 어려움 분류 증가

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항은 22문항에서 20문항으로, 서술·단답형은 7문항에서 5문항으로 줄었습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 8문항으로 늘고 쉬움은 10문항에서 3문항으로 줄었습니다. 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 줄었다고 보기는 어렵습니다.

작년에는 함수의극한이 8문항으로 가장 많았고 함수의연속은 5문항이었습니다. 올해는 극한이 6문항으로 줄고 연속이 6문항으로 늘어, 미분계수와도함수와 같은 비중을 이룹니다. 도함수의활용은 3문항에서 2문항으로 줄었으므로, 대비할 때 극한 계산에만 치우치지 말고 연속 조건의 그래프 해석을 함께 다루세요.

작년의 어려움 문항은 13·14·19·20·21·22번이었고, 올해는 10·11번부터 등장해 13·14·16·18·19·20번으로 이어집니다. 시작 위치가 앞당겨진 만큼 앞쪽에서 어려운 문제를 만났을 때 넘기는 기준을 연습해 두세요. 이 비교는 자동 분류와 단원 배치의 차이를 보여 주며 실제 체감 난도를 확정하지는 않습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 자료의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 변화가 생기는 경계를 먼저 찾는 일이 중요합니다. 그래프 스케치와 구간표를 만든 뒤 구간 내부와 경계에서의 값을 구별해 기록하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 직접 계산이 가능한 문항을 먼저 확보하세요. 10·11번에서 풀이가 길어지더라도 12번의 접선 문제와 15번의 무리식 극한, 17번의 수직인 접선 문제를 확인할 여지를 남기세요. 전체 시험 시간을 자료로 확인할 수 없으므로 고정된 분 단위 배분보다, 연습에서 조건 정리가 멈추는 지점을 기록해 재접근 기준을 세우는 편이 좋습니다.

서술·단답형에서는 식을 세운 이유가 드러나도록 정리하세요. 16번은 실근이 지정된 두 값 사이에 존재한다는 조건으로 매개변수의 범위를 먼저 제한하고 넓이 조건을 적용합니다. 19번은 절댓값을 취한 함수의 연속으로 얻은 후보를 구간 전체의 크기 제한에 다시 대조해야 합니다. 조건에서 얻은 후보와 최종 허용 대상을 구분해 쓰세요.

마지막 검토에서는 계산보다 경계를 우선 보세요. 3번은 음수로 나눌 때의 부등호 방향, 7번은 입력 변화량의 배율, 9·11번은 연결점에서의 연속과 미분가능성이 핵심입니다. 13·20번은 경계점의 포함 여부를, 18번은 최댓값 조건과 다른 가능한 경우를 점검하면 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 구별하고 연속의 조건을 문장과 식으로 함께 정리하세요. 약분 전후에 원래 정의가 달라지는 점도 확인하세요(2·4·5번 대비).
2. 극한의 대소 관계와 연산 성질을 복습하세요. 부호에 따른 부등호 변화, 성질을 적용할 전제, 반례를 만드는 방법을 따로 연습하세요(3·6번 대비).
3. 무리식 유리화와 차분몫 변형을 연습하세요. 함수의 값과 미분계수를 나누어 기록하고 입력 변화량의 배율을 표시하세요(7·8·15번 대비).
4. 구간별 함수는 경계에서 연속을 먼저, 좌우미분계수의 일치를 다음으로 확인하세요. 곱으로 정의된 함수가 매끄러워지는 조건도 함께 다루세요(9·11번 대비).
5. 접선의 기울기에서 직선의 식으로, 접촉과 수직 조건에서 좌표 관계로 연결하세요. 실근의 위치와 도형의 넓이를 연결하는 연습을 덧붙이세요(12·16·17번 대비).
6. 교점 개수는 구간별로 나누고 경계 높이를 순서대로 배열하세요. 평균변화율의 최대 조건과 절댓값 함수의 전 구간 제한도 후보 검증까지 마무리하세요(10·13·14·18·19·20번 대비).