단국대학교사범대학부속고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

단국대학교사범대학부속고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증감과 극값을 중심으로 부정적분을 통한 함수 복원, 정적분의 성질, 운동과 넓이를 함께 다룹니다.

초반에는 도함수를 적분하거나 위치를 미분하는 기본 계산을 확인합니다. 이후에는 도함수의 그래프에서 원래 함수를 복원하고, 두 함수의 차를 새 함수로 두어 접점과 교점을 해석해야 합니다. 주어진 식을 그대로 전개하기 전에 어떤 함수의 성질을 조사할지 정하는 능력이 중요합니다.

서술·단답형도 같은 방식으로 접근할 수는 없습니다. 19번은 합과 곱의 복원, 20번은 앞 소문항의 결과를 활용하는 과정, 21번은 증감표 작성, 22번은 함수의 성질과 반례 구성이 중심입니다. 계산 결과뿐 아니라 판단의 근거를 말과 표, 그래프로 표현하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 문항은 1·2·3·21번입니다. 부정적분과 초기 조건, 위치와 속도의 관계, 증감표의 기본 절차를 정확히 적용하면 접근할 수 있습니다. 특히 21번은 서술·단답형 뒤쪽에 있지만 기본 개념을 정리해 표현하는 문제이므로 순서만 보고 미루지 마세요.

보통 문항은 4·5·6·7·9·10·19·20번입니다. 전 구간에서 성립하는 부등식을 최솟값 조건으로 바꾸거나, 절댓값으로 표현된 함수를 구간별로 읽는 과정이 필요합니다. 익숙한 계산이라도 적분 구간의 방향과 속도의 부호를 놓치면 판단이 달라집니다.

어려움 문항은 8번과 11~18번, 22번입니다. 객관식 후반에서는 접점의 중근 구조, 움직이는 구간, 교점 개수와 극값 조건이 이어집니다. 이 분류는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없지만, 조건 정리에 시간을 확보해야 하는 구성임은 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 미적분 연결

도함수의활용은 2·4·6·12·13·15·16·17·18·21·22번입니다. 속도와 증감표 같은 기본형부터 차함수의 중근, 최댓값의 위치, 극값의 개수에 따른 경우 분류까지 폭이 넓습니다. 도함수를 구하는 단계에서 멈추지 말고 그 부호가 원래 함수의 그래프에 주는 정보를 설명해야 합니다.

부정적분은 1·7·8·19번이며, 적분상수 결정과 함수의 구조 복원이 중요합니다. 정적분은 5·11·14·20번으로, 함수값의 차, 절댓값 적분, 대칭 구간에서의 홀짝 성질을 다룹니다. 적분 계산 전에 인수분해와 부호 판정을 마치면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

정적분의활용은 3·9·10번입니다. 운동에서는 속도 그래프의 부호 있는 넓이와 이동 거리를 구별하고, 넓이에서는 구간별로 실제 사용되는 그래프를 선택해야 합니다. 기본형인 3번을 익힌 뒤 9번의 구간별 운동과 10번의 절댓값 표현으로 확장해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이에서 처리할 조건의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아닙니다. 공통적으로 계산보다 먼저 적용 가능한 성질과 예외를 구별해야 합니다. 스케치에 접점, 경계, 함수값을 표시한 뒤 각 조건이 어디에서 사용되는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념으로 출발할 수 있는 문항을 먼저 확보하세요. 8번에서 조건 해석이 길어지면 표시하고 9·10번을 확인하며, 11~18번에 오래 머물기 전에 서술·단답형 전체를 살펴보세요. 21번의 증감표처럼 풀이 절차가 분명한 문항을 확보한 뒤 복잡한 그래프 문제로 돌아오는 연습을 권합니다.

서술·단답형에서는 요구한 표현 방식까지 확인하세요. 20번은 앞 소문항의 결과를 활용하는 과정을 명시하라는 조건이 있으므로 홀짝 성질을 썼다는 연결을 남겨야 합니다. 21번은 도함수만 적고 끝내지 말고 임계점, 구간별 부호, 증가·감소와 극값을 증감표에 대응시키세요.

검토할 때는 계산을 반복하기보다 조건 누락을 찾으세요. 6번은 도함수가 일부 점에서 사라지는 경우의 허용 여부, 9번은 정지와 방향 전환의 차이, 13번은 구간 끝점의 비교가 중요합니다. 14번은 적분 구간의 순서, 18번은 집합 원소의 중복, 22번은 연속성 가정을 임의로 추가하지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 적분의 기본 관계부터 복습하세요. 위치를 미분해 속도를 구하고 도함수를 적분한 뒤 초기 조건으로 상수를 결정하는 절차를 연결하세요(1·2·3번 대비).
2. 도함수의 부호표를 그린 뒤 원래 함수의 증감과 극값을 말로 설명하세요. 전 구간의 최솟값과 단조성 조건으로 확장하세요(4·6·21번 대비).
3. 인수와 중근을 보존하며 함수를 복원하세요. 도함수의 그래프, 함수의 합과 곱, 접점 조건을 각각 어떤 식으로 옮길지 연습하세요(7·8·12·19번 대비).
4. 정적분은 계산 전에 구간의 방향, 피적분함수의 부호, 홀짝 성질을 표시하세요. 절댓값을 풀거나 항을 소거한 근거도 적으세요(5·11·14·20번 대비).
5. 운동과 넓이에서는 구간을 나누는 기준부터 정하세요. 속도의 부호 변화와 두 그래프의 대소 변화가 적분식에 어떻게 반영되는지 확인하세요(9·10번 대비).
6. 극점과 경계가 이동하는 문제를 그래프로 분류하세요. 구간 끝점 비교, 교점 사이 거리, 접점과 단근의 차이를 함께 다루세요(13·15·16·17·18번 대비).
7. 함수의 성질을 정리할 때 필요한 가정을 함께 적으세요. 연속성을 뺀 구간별 함수로 주장을 검토하고 반례의 성질을 직접 확인하세요(22번 대비).