단국대학교사범대학부속고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

단국대학교사범대학부속고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 접선의 기울기나 무리식의 극한 같은 기본형과 함수의 형태를 역으로 결정하는 문제가 함께 나옵니다.

극한과 미분을 별개의 계산 공식으로만 외우면 접근이 어려운 구성입니다. 항등식에서 차분을 만들어 미분계수를 읽거나, 유한한 극한이 존재한다는 사실에서 분자의 소거 조건을 얻어야 합니다. 계산식이 길어 보일 때 무엇이 먼저 결정되어야 하는지 판단하는 능력이 필요합니다.

그래프 해석도 중요합니다. 연속성을 이용해 선택할 수 있는 그래프를 제한하고, 절댓값의 부호에 따라 접선을 구하며, 역함수와 원래 함수의 대칭을 활용합니다. 식을 전개하기 전에 구간과 경계를 표시하면 불필요한 경우를 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~4번에 모여 있습니다. 접선의 기울기, 유리함수의 연속 조건, 무리식의 유리화, 입력이 바뀐 함수의 한쪽 극한이 대상입니다. 기본형이라도 분모가 사라지는 점과 입력의 접근 방향을 확인해야 하므로, 대입만 반복하는 습관은 피하세요.

보통은 5·6·8·10·19번입니다. 미분계수의 정의와 연속·미분가능의 구별, 극한 성질의 적용 조건을 확인합니다. 특히 19번은 뒤에 놓인 서술·단답형이지만 보통으로 분류됩니다. 번호 순서만 보고 후반 문제를 한꺼번에 미루면 풀 수 있는 문항을 놓칠 수 있습니다.

11~18번은 모두 어려움으로 분류되고 20~22번에도 어려움이 이어집니다. 이 구간은 조건을 함수의 형태나 그래프 관계로 바꾸는 과정이 길어질 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감이나 문항 사이의 세부 순위를 뜻하지 않습니다.

출제 단원 — 미분계수와 극한이 중심

미분계수와도함수는 기본 기울기를 묻는 1번에서 항등식의 변형을 요구하는 7·9번, 차분의 극한을 해석하는 11번으로 확장됩니다. 15·20번에서는 구간별 함수가 미분가능하도록 연결 조건을 정해야 합니다. 미분 공식을 적용하는 연습과 정의로 돌아가는 연습을 함께 하세요.

함수의극한은 유리화, 합성된 입력의 방향, 극한 성질, 정수부분이 포함된 식, 다항식 결정까지 폭이 넓습니다. 10·17번은 대소 관계로 극한을 비교하고, 12·22번은 다항식의 인수 구조를 먼저 파악합니다. 극한 기호가 있다고 곧바로 대입하거나 약분하지 않는 것이 중요합니다.

함수의연속에서는 그래프 선택과 역함수, 부호 유지가 주요 연결 고리입니다. 도함수의활용은 16·21번으로, 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 출제 문항 수가 적어도 접선과 교점 조건을 연결하는 부담이 있으므로 학습에서 생략하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 미분과 접선 활용까지 준비

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 늘고 보통은 줄었으며 어려움은 늘었습니다. 서술·단답형은 줄었지만, 형식의 변화만으로 전체 풀이 부담이 가벼워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

작년은 함수의극한이 8문항으로 가장 많았고 미분계수와도함수와 함수의연속은 각각 7문항이었습니다. 올해는 미분계수와도함수가 8문항으로 중심이 되고 함수의극한은 7문항, 함수의연속은 5문항입니다. 올해 자료에는 도함수의활용 2문항도 있어 접선 조건까지 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 7~18번에 모였고 서술·단답형인 19~22번은 보통이었습니다. 올해는 서술·단답형 20·21번과 객관식 22번도 어려움입니다. 다음 시험을 대비할 때는 초반 계산 속도뿐 아니라 후반까지 조건을 정리할 집중력과 검토 시간을 확보하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정과 실수 가능성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산에 앞서 가능한 함수의 형태를 제한해야 합니다. 풀이가 막히면 전개를 늘리기보다 아직 사용하지 않은 존재 조건이나 경계 조건을 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 개념을 확인하고, 7·9번에서 진전이 없으면 표시한 뒤 다음 문항을 살펴보세요. 8·10번과 19번처럼 보통으로 분류된 문제가 사이에 있습니다. 제한 시간 안에 전체를 훑는 연습을 하면서 첫 식을 세우는 데 걸린 시간과 실제 계산 시간을 구별해 기록하면 좋습니다.

서술·단답형 17·19·20·21번은 형식보다 접근법을 기준으로 순서를 정하세요. 17번은 정수부분의 성질과 성장률 비교, 19번은 약분에서 빠진 점의 연속성, 20번은 경계에서의 미분가능성, 21번은 공통접선 조건이 출발점입니다. 바로 계산할 수 있는 문항부터 해결하되 각 출발 근거를 짧게 남겨 검토를 쉽게 하세요.

마지막 점검에서는 4번의 입력 방향, 5·11번의 나눌 수 있는 조건, 13번의 그래프 전환 지점, 14번의 증가·감소 구분을 확인하세요. 20번은 도함수 조건만 맞춘 뒤 함수의 연결을 놓치지 않아야 합니다. 21번은 문제에서 제외한 기울기를 후보에서 걸러 내고, 22번은 약분 전후에 제외되는 점을 구별하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선의 기울기와 무리식 유리화를 먼저 정리하세요. 계산 뒤 원래 정의역과 접근 방향을 확인하는 습관을 만드세요(1·2·3·4번 대비).
2. 평균변화율을 미분계수의 정의와 연결하세요. 증가량이 달라지는 차분을 기준점의 함숫값을 넣어 나누는 연습을 하세요(5·7·11번 대비).
3. 극한의 성질을 쓸 수 있는 전제와 반례를 정리하세요. 정수부분은 대소 관계로 감싸고 무한대에서의 성장률을 비교하세요(8·10·17번 대비).
4. 연속성과 미분가능성을 구분하고 구간 경계마다 함수의 연결과 기울기의 연결을 따로 적어 보세요(6·15·19·20번 대비).
5. 연속함수의 그래프 선택과 역함수의 대칭을 복습하세요. 부호를 유지하는 구간과 그래프를 바꿔 이어 붙일 수 있는 점을 표시하세요(13·14·18번 대비).
6. 다항식의 차수·인수와 극한 조건을 묶어 연습하세요. 함수 형태를 먼저 제한한 뒤 계수를 정하는 순서를 익히세요(9·12·22번 대비).
7. 접선의 방정식을 접점으로 표현하고 교점 조건을 연결하세요. 절댓값의 부호, 접할 때의 중근 조건, 도형의 성립 여부를 확인하세요(16·21번 대비).