중앙대학교사범대학부속고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

중앙대학교사범대학부속고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 증가와 감소, 접선, 운동을 해석하는 미분 영역과 함수 복원 및 넓이를 다루는 적분 영역이 함께 출제되었습니다.

미분 영역에서는 도함수의 영점을 찾은 다음 단계가 중요합니다. 극값의 존재는 부호 변화로, 접선의 개수는 제한된 구간 안의 교점으로, 최댓값은 극점과 끝점의 비교로 판단해야 합니다. 익숙한 다항함수라도 무엇을 세고 무엇을 비교하는지 먼저 정리하세요.

적분 영역에서는 주어진 식을 그대로 계산하기보다 적분할 대상을 먼저 만들어야 합니다. 구간의 최댓값으로 정의된 함수, 평행이동 관계가 있는 함수, 접선과 곡선 사이의 영역이 등장합니다. 계산 능력에 더해 구간과 경계를 그림으로 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반과 서술·단답형 후반의 조건 해석

쉬움으로 분류된 2·4·5·15번은 도함수의 부호, 적분상수, 넓이의 부호 처리를 확인하는 문항입니다. 기본형에서도 도함수가 영이 되는 점을 모두 극점으로 보거나, 축 아래의 정적분을 그대로 넓이로 쓰면 실수가 생깁니다.

보통 문항은 초반뿐 아니라 9번과 서술·단답형 16~18번에도 있습니다. 8번에서 풀이가 막히더라도 9번의 적분식 미분을 확인하고, 객관식 후반에 오래 머물기 전에 서술·단답형 앞부분을 살펴보세요. 번호 순서가 곧 난도 순서는 아닙니다.

10~14번과 19~22번은 자동 분류 기준 어려움 구간입니다. 함수의 형태 결정, 경우 분류, 넓이 설정 등 여러 판단이 연결됩니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않지만, 계산 전에 접근을 정리할 시간이 필요한 배치임은 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수 활용이 절반, 적분은 영역 설정까지

도함수의활용은 접선과 극값의 기본에서 평균값 정리, 운동, 매개변수의 결정으로 이어집니다. 1번의 접선 기울기를 출발점으로 10번의 접선 개수까지 확장하고, 2번의 부호 해석을 7·12·21번의 그래프 분석으로 연결해 공부하세요.

정적분과 정적분의활용은 식을 복원하는 문제와 넓이·운동의 의미를 읽는 문제가 함께 있습니다. 9·16번에서는 적분 변수와 외부 변수를 구별하고, 8·19번에서는 구간별 함수를 먼저 정리해야 합니다. 11번은 속도 그래프의 높이와 누적된 위치 차이를 구분하는 연습에 적합합니다.

부정적분은 4·15번으로 기본 개념 확인에 집중되어 있습니다. 이 부분을 빠르게 처리하되 적분상수를 빠뜨리지 않는 것이 중요합니다. 넓이 문제는 5번의 부호 분할부터 13번의 정수근 조건, 20·22번의 접선과 경계 해석까지 단계적으로 연습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 총 문항 수, 늘어난 서술·단답형

작년과 올해 모두 수학II이며 총 22문항입니다. 서술·단답형은 작년 19~22번에서 올해 15~22번으로 늘었습니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 작년 12문항에서 올해 10문항으로 줄고 쉬움은 늘었지만, 이 변화만으로 실제 체감 난도가 낮아졌다고 단정할 수는 없습니다.

가장 많은 도함수의활용은 양쪽 모두 11문항이고 정적분의활용도 5문항으로 같습니다. 정적분은 작년 5문항에서 올해 4문항으로, 부정적분은 1문항에서 2문항으로 바뀌었습니다. 미분 활용을 중심으로 준비하면서 적분의 기본 계산과 영역 해석을 함께 유지하는 방향이 적절합니다.

작년에는 객관식 11~18번에 어려움이 이어졌고 서술·단답형에서는 20·22번이 해당했습니다. 올해는 객관식 10~14번과 서술·단답형 19~22번에 이어집니다. 후반의 부담이 서술·단답형에도 연속되므로 식을 세운 이유와 경우를 나눈 기준을 직접 쓰는 연습을 늘리세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 얻은 뒤에도 범위와 그래프를 확인하는 단계가 남습니다. 복습할 때는 계산 줄 수보다 후보를 제외한 이유와 영역을 선택한 근거를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 부호 해석과 기본 적분 문항을 처리한 뒤 복합 조건 문제로 넘어가세요. 8번에서 새 함수를 정하는 데 시간이 걸리면 표시하고 9번과 15~18번을 살펴보는 방식이 가능합니다. 제한 시간이 자료에 없으므로 분 단위를 고정하기보다, 실전 연습에서 첫 접근과 계산에 쓴 시간을 따로 기록하세요.

서술·단답형에서는 시작 조건과 검증 조건을 남겨 두세요. 19번은 구간 이동에 따른 상수의 기여, 20번은 접점의 중근 구조, 21번은 매개변수 범위의 재확인이 중요합니다. 적분 계산을 다시 하기 전에 구간과 위아래 함수가 맞는지 검토하면 큰 설정 오류를 먼저 찾을 수 있습니다.

문구 해석도 검토 대상입니다. 14번의 제공 해설은 거리의 최대라는 표현과 극대 해석 사이의 차이를 지적합니다. 22번 역시 영역이 여럿 생길 수 있음을 밝히므로 그림에서 대상을 확인해야 합니다. 복습에서는 이런 해석 문제를 단순 계산 실수와 구별해 정리하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수 그래프의 영점과 부호 변화를 표로 정리하세요. 극점과 단순한 정지점을 구별한 뒤 차함수로 확장하세요(2·7번 대비).
2. 부정적분의 상수 결정과 넓이의 부호 분할을 먼저 익히세요. 적분한 식을 미분해 확인하는 습관도 함께 들이세요(4·5·15번 대비).
3. 평균값 정리의 가정과 결론을 쓰고 그래프에서 확인하세요. 정리를 적용할 수 없는 경우에는 실제 기울기로 존재 여부를 판단하세요(6·17번 대비).
4. 적분식의 외부 변수와 적분 변수를 구별하세요. 고정 구간은 상수로, 변수 끝점은 미분으로 다루고 구간 이동의 보정도 연습하세요(9·16·19번 대비).
5. 접선의 개수와 함수의 최댓값은 경우 분류표로 연습하세요. 접점의 허용 범위, 영점의 중복도, 구간 끝점을 점검하세요(8·10·12·21번 대비).
6. 운동과 넓이 문제는 계산 전에 그림을 완성하세요. 속도와 위치 차이, 접선의 접촉과 영역의 경계를 구별해 설명하세요(11·14·18·20·22번 대비).