서문여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

서문여자고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

서문여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 극대·극소를 비롯해 운동, 정적분으로 정의된 함수, 곡선으로 둘러싸인 넓이까지 다룹니다.

초반에는 다항함수의 적분과 접선 방정식을 직접 계산하지만, 뒤로 갈수록 주어진 조건을 그래프의 모양으로 바꾸어야 합니다. 증가 조건은 도함수의 부호로, 실근의 개수는 수평선과의 교점으로, 절댓값의 미분가능성은 영점 부근의 형태로 해석하는 능력이 필요합니다.

한 가지 계산법을 반복하는 시험으로 준비하기에는 조건의 종류가 다양합니다. 특히 객관식 후반에서는 함수를 정하는 단계와 정해진 함수로 추가 조건을 처리하는 단계가 이어집니다. 식을 얻은 뒤에도 원래의 범위와 부호 조건으로 돌아가는 습관을 들이세요.

난이도 분포 — 객관식 10~16번에 모인 어려움

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 1~3번은 정적분 계산, 주어진 접점에서의 접선, 적분상수 결정입니다. 여기서는 복잡한 추론보다 계산의 정확성이 우선입니다. 적분 구간의 양 끝 대입과 괄호 처리, 접점의 좌표 확인을 일정한 순서로 수행하면 불필요한 재계산을 줄일 수 있습니다.

보통 구간인 4~9번에는 접선의 교점, 삼차함수의 증가, 운동 방향과 이동 거리, 극소의 위치, 도함수 그래프를 이용한 최솟값이 포함됩니다. 공식을 알고 있어도 부호 해석이 빠지면 풀이가 흔들립니다. 서술·단답형 17~20번도 같은 분류이므로, 객관식 후반에 막혔을 때 뒤의 문항을 확인할 필요가 있습니다.

어려움 구간은 10~16번으로 이어집니다. 넓이의 평행이동 관계, 적분식의 반복 미분, 절댓값과 미분가능성, 접선의 개수처럼 조건을 다른 표현으로 옮기는 부담이 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 성취를 직접 나타내지는 않습니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 부호 해석의 연결

도함수의활용은 접선, 증가와 감소, 극값, 방정식의 실근 개수로 폭넓게 출제됩니다. 같은 접선 주제도 2번의 직접 계산에서 4번의 교점, 11번의 수직 관계와 거리, 16번의 서로 다른 접선 개수로 확장됩니다. 기본 접선식을 외운 뒤 접점을 미지수로 놓는 방법까지 연결해서 연습하세요.

부정적분에서는 적분상수와 함수의 복원이 공통 기반입니다. 9번은 도함수 그래프의 영점과 부호를 읽어 원래 함수의 최솟값을 판단하므로, 적분 계산만 별도로 연습해서는 부족합니다. 17번은 적분으로 주어진 관계를 미분해 다른 함수를 얻는 방향도 익혀야 합니다.

정적분과 그 활용에서는 부호 있는 적분값과 넓이의 차이가 중요합니다. 7번은 속도의 절댓값, 10번은 그래프 이동에 따른 적분값의 변화, 20번은 곡선과 접선의 대소를 확인해야 합니다. 12번은 변수로 된 적분 끝점과 피적분함수에 들어 있는 변수를 함께 다루는 별도의 훈련이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 풀이의 전환 단계가 두드러져 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 방정식을 얻는 것과 원래 조건을 만족하는 대상을 판정하는 일이 구별되므로, 계산 후 검토할 조건을 풀이 시작 전에 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 계산과 부호 해석을 안정적으로 마무리하세요. 10~16번에서 출발식이 잡히지 않으면 표시하고 서술·단답형 17~20번을 확인하는 연습이 필요합니다. 뒤쪽이라는 이유로 무조건 더 오래 걸린다고 가정하지 말고, 시험 전체에서 접근 가능한 문항을 먼저 찾으세요.

재도전할 때는 막힌 이유를 구별하세요. 12번은 변수의 역할을 정리하는 전개, 13번은 절댓값을 풀 구간, 16번은 같은 접선의 중복 여부가 출발점입니다. 처음부터 식을 반복해서 쓰기보다 필요한 그림이나 부호표를 먼저 마련하면 다음 계산을 선택하기 쉬워집니다. 연습에서는 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하세요.

마지막 검토에서는 부호와 경계를 우선 확인하세요. 5번의 증가 조건과 8번의 극소 존재 조건은 등호 허용 여부가 다릅니다. 6번은 첫 방향 전환인지, 7번은 이동 거리인지, 19번은 서로 다른 실근을 요구하는지 다시 읽으세요. 20번은 적분 전 곡선과 접선의 대소를 확인한 흔적을 남겨 두는 편이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 미분·적분과 적분상수 결정을 복습하세요. 함숫값 조건을 적용하는 시점과 적분 끝점 대입 순서를 일정하게 정리하세요(1·3·17번 대비).
2. 접선은 주어진 접점에서 시작해 기울기가 주어진 경우로 확장하세요. 접점의 가로 좌표를 미지수로 두고 접선식을 세우는 과정을 익히세요(2·4·11번 대비).
3. 도함수의 인수분해와 부호표를 연결하세요. 증가 조건, 극소의 위치, 극값 조건, 수평선의 교점 개수를 같은 그래프에서 설명해 보세요(5·8·9·18·19번 대비).
4. 운동과 넓이는 부호를 먼저 확인하세요. 위치의 차와 이동 거리를 구별하고, 곡선과 직선의 차를 인수분해해 적분 구간을 정하세요(6·7·10·20번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수는 변수를 구별해 전개하고 미분하는 연습을 하세요. 함수 복원 뒤에는 적분 극한을 미분계수로 바꾸는 이유도 설명해 보세요(12번 대비).
6. 절댓값과 복합 조건은 영점·부호·경계로 나누어 정리하세요. 최솟값의 적용 범위와 실근 조건을 그림에 함께 표시하세요(13·14·15번 대비).
7. 접선 개수 문제에서는 접점의 후보와 실제 직선을 나누어 기록하세요. 공통접선으로 인한 중복과 방정식의 중근을 각각 검사하세요(16번 대비).