압구정고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

압구정고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 증가·감소에서 출발해 극값, 운동, 도형의 부피, 적분으로 정의된 함수까지 다룹니다.

기본형에서는 미분과 적분 공식을 정확히 적용하는 능력을 확인합니다. 그러나 조건이 추가되면 계산 이전의 판단이 중요해집니다. 증가 조건을 도함수의 부호로 바꾸고, 실근의 개수를 수평선과 그래프의 교점으로 읽으며, 넓이는 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나누어야 합니다.

객관식 후반을 마친 뒤에도 서술·단답형의 풀이 시간을 확보해야 하는 구성입니다. 13·14번에서는 접선과 정리의 적용을 확인하고, 뒤에서는 조건 변환과 그래프 구성이 이어집니다. 기본형 풀이를 안정시킨 다음, 왜 그 구간에서 그 식을 쓰는지 설명하는 연습으로 확장하세요.

난이도 분포 — 기본형 확보와 후반 조건 해석

쉬움으로 분류된 문항도 확인해야 할 개념은 뚜렷합니다. 3번은 도함수의 그래프에서 부호 변화를 읽어야 하고, 8번은 적분 구간과 대칭성을 먼저 살펴야 합니다. 9·10번에서는 넓이와 정적분, 위치와 위치의 변화량을 구별해야 하므로 공식을 안다고 검토를 생략하지 마세요.

보통 문항은 조건을 계산 가능한 형태로 바꾸는 역할을 합니다. 2·5번은 매개변수와 도함수의 부호를 연결하고, 6번은 정지하는 순간과 운동 방향이 바뀌는 순간을 구분합니다. 서술·단답형의 15·16·17·20번은 각각 적분 후 최솟값, 거리 조건, 미분 관계, 부피의 함수화를 다룹니다.

어려움 문항은 11·12번과 18·19·21번에 배치되어 있습니다. 다만 20번은 자동 분류 기준 보통이므로 18·19번에서 막혔다고 뒤를 모두 미루지 않는 편이 좋습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 개인별 체감 난도는 그래프 해석과 조건 처리의 숙련도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 중심, 정적분의 해석까지

도함수의활용은 접선, 증가·감소, 극값, 실근 개수, 운동, 최대·최소로 폭넓게 출제되었습니다. 같은 미분 계산을 하더라도 1·13번의 접선 구성과 11번의 접선 개수 판단은 접근 단계가 다릅니다. 기본 접선식을 익힌 뒤 접점을 미지수로 두고 조건을 연결하는 연습이 필요합니다.

정적분은 비중에 비해 해석 부담이 두드러지는 단원입니다. 8번의 대칭성과 15번의 매개변수 계산을 넘어, 12·19번에서는 누적 적분과 원래 함수의 관계를 읽어야 합니다. 21번은 최댓값을 먼저 함수로 구성해야 적분을 시작할 수 있어 계산 순서를 정하는 능력이 중요합니다.

부정적분과 정적분의활용도 연결해서 복습하세요. 7번의 초기 조건과 적분상수는 10·16번에서 위치를 복원하는 사고로 이어집니다. 17번은 부정적분이라는 문장을 미분 관계로 바꾸며, 9번은 넓이를 구하기 위해 그래프의 부호를 확인합니다. 적분식을 쓰기 전에 무엇을 누적하는지 설명해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 조건 해석의 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산할 대상을 먼저 구성해야 하므로, 접점의 조건식이나 누적 적분의 개형, 최댓값의 구간별 정의를 적은 뒤 계산하는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 접선과 적분 계산이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 객관식 마지막의 11·12번에서 조건 해석이 길어지면 표시하고 서술·단답형의 13·14번을 확인하는 운영을 연습해 보세요. 객관식을 모두 끝내야 다음 형식을 풀 수 있다고 생각하면 접근 가능한 문항을 남길 수 있습니다.

서술·단답형은 핵심 근거를 적을 시간을 별도로 남기세요. 14번은 정리의 적용과 후보의 구간 확인, 16번은 거리의 절댓값과 양수 조건, 20번은 부피식과 높이의 범위가 중요합니다. 연습할 때 계산 시간뿐 아니라 조건을 읽고 식을 세우는 시간도 기록하면 오래 걸리는 단계를 찾을 수 있습니다.

마지막 검토에서는 부호와 경계를 우선 확인하세요. 3·6번은 영점에서 부호가 실제로 바뀌는지, 4·11·19번은 접하는 경우를 중복해 세지 않았는지 살펴보세요. 9번은 넓이의 부호, 10번은 출발 위치, 21번은 최댓값의 식을 나누는 기준이 맞는지 점검하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선의 기본형부터 정리하세요. 접점이 주어진 경우와 기울기가 주어진 경우를 구별한 뒤, 외부의 점을 지나는 조건을 접점의 방정식으로 바꾸세요(1·13·11번 대비).
2. 도함수의 부호표를 작성하고 증가·감소와 극값을 설명하세요. 매개변수가 있으면 정의역과 판별식을 함께 확인하고, 영점과 부호 변화의 차이를 정리하세요(2·3·5·6·18번 대비).
3. 부정적분과 정적분의 기본 계산을 안정시키세요. 적분상수와 초기 조건, 적분변수와 매개변수를 구별하고 대칭성을 이용할 수 있는지 먼저 살펴보세요(7·8·15·17번 대비).
4. 정적분의 의미를 넓이와 운동으로 나누어 연습하세요. 넓이에서는 부호를 바꾸고, 위치에서는 출발 위치를 반영하며, 고정된 점과의 거리는 위치의 차로 나타내세요(9·10·16번 대비).
5. 함수와 누적 적분함수의 그래프를 나란히 그리세요. 부호에서 증가·감소를, 적분 조건에서 높이 관계를 얻은 뒤 수평선의 교점을 경계별로 검토하세요(4·12·19번 대비).
6. 최대·최소에서는 계산할 함수를 먼저 만드세요. 도형의 제약으로 변수를 줄이고, 움직이는 구간에서는 최댓값을 주는 위치가 바뀌는 기준을 찾아 구간별로 표현하세요(20·21번 대비).