청담고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

청담고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

등록 자료의 학교 위치는 서울 서초구입니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증가·감소와 극대·극소에서 출발해 넓이, 운동, 적분으로 정의된 함수까지 이어집니다.

도함수의 부호를 읽는 능력이 여러 단원을 관통합니다. 운동 방향을 판단하는 문항에서는 속도의 부호 변화를, 극값 문항에서는 도함수의 부호 변화를 살펴야 합니다. 정적분 문항에서도 적분식을 미분해 함수의 형태를 파악하는 접근이 필요합니다.

문항 형식과 난이도가 한 방향으로만 바뀌지는 않습니다. 19번은 서술·단답형이고 20번은 객관식이며, 그 뒤에 서술·단답형이 이어집니다. 후반 문제를 한꺼번에 어렵다고 판단하기보다, 계산 중심 문항과 조건을 재구성해야 하는 문항을 구별해 접근하세요.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석과 중간 구간의 개념 판단

쉬움으로 분류된 문항도 계산의 출발점을 정확히 잡아야 합니다. 1번은 곱셈 공식을 이용한 정리, 2번은 적분 구간의 방향, 4번은 위치·속도·가속도의 관계, 7번은 닫힌구간의 끝점 비교가 핵심입니다. 이 기본 절차를 안정적으로 수행하면 후반 검토 시간을 확보할 수 있습니다.

보통 문항에서는 개념의 경계가 중요합니다. 5·8·11번은 도함수나 속도가 사라진다는 사실만으로 극값 또는 방향 전환을 단정할 수 있는지 묻습니다. 13·16번은 그래프를 변형하거나 결합한 뒤 판단해야 하므로, 보통이라는 분류를 단순 대입 문제라는 뜻으로 받아들이지 마세요.

어려움은 17~20번에 이어서 배치되고 마지막 24번에서 다시 나타납니다. 21~23번을 먼저 확인할 수 있도록 풀이 순서를 유연하게 잡으세요. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 체감 난도는 그래프 해석과 적분 계산의 숙련도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 전체의 절반을 차지합니다. 극값 조건으로 계수를 정하는 3·21번, 증가 조건을 다루는 12번, 교점 개수로 그래프를 해석하는 13·18번처럼 같은 도구가 다른 상황에서 반복됩니다. 도함수를 구한 다음 부호표와 함수의 개형까지 연결하는 연습에 우선순위를 두세요.

정적분은 계산과 함수 해석을 함께 다룹니다. 9번은 적분으로 정의된 함수의 극값, 15번은 좁아지는 구간의 넓이와 극한, 17번은 적분식의 미분과 극소 조건을 연결합니다. 부정적분의 22번 역시 적분과 미분의 관계를 이용하므로, 두 연산을 별개 공식으로 외우는 방식은 충분하지 않습니다.

정적분의활용에서는 위치와 넓이가 모두 등장합니다. 6번의 속도 그래프는 부호 있는 넓이로 위치 변화를 읽고, 10·14·19번은 곡선 사이의 넓이를 적분식으로 나타냅니다. 24번은 속도를 적분한 위치 차를 다시 최대·최소 문제로 바꾸므로 미분과 적분을 순서대로 연결해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 해석의 복잡성을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 함수의 형태를 재구성해야 합니다. 그래프나 인수 구조를 적고 각 조건이 어느 단계에 쓰였는지 표시하면, 식을 얻고도 남은 조건을 놓치는 실수를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산 문항을 안정적으로 처리하고, 그래프 판단 문항에서는 짧은 부호표를 남기세요. 17~20번에서 풀이가 막히면 현재 얻은 관계만 적고 21~23번을 확인하는 방식이 좋습니다. 후반에 있다는 이유로 풀 수 있는 서술·단답형까지 미루지 않는 연습이 필요합니다.

검토 시간에는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건을 확인하세요. 5·8·11번은 부호 변화, 7번은 끝점 비교, 13번은 절댓값 그래프의 접촉 높이, 19번은 접선 기울기 조건이 중요합니다. 20번에서는 일정한 구간의 양 끝이 미분 조건에 똑같이 포함되는지 따로 살펴야 합니다.

적분 문항은 무엇을 누적하는지 먼저 적어 두세요. 6번의 위치 변화는 부호 있는 정적분이며, 24번의 두 점 사이 거리는 위치 차의 절댓값입니다. 23번은 식이 바뀌는 지점에서 구간을 나누고, 24번은 다시 만나는 시각으로 최댓값을 찾을 범위를 정해야 합니다. 연습에서는 구간 설정과 계산에 걸린 시간을 구별해 기록하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 미분·적분과 적분 구간의 방향을 복습하세요. 계산 결과를 미분으로 확인하고 적분상수를 점검하세요(1·2·22번 대비).
2. 도함수의 근과 좌우 부호를 함께 적는 습관을 들이세요. 운동 방향 전환과 함수의 극값을 같은 부호표 원리로 정리하세요(3·4·5·8·11·21번 대비).
3. 닫힌구간의 최대·최소와 증가 조건을 연습하세요. 내부 정지점과 끝점을 비교하고 매개변수 경계의 허용 여부를 설명하세요(7·12번 대비).
4. 그래프 변형과 교점 개수 문제를 묶어 풀어 보세요. 절댓값, 곱함수, 수평선의 높이 변화에서 판단 기준을 말로 적어 보세요(13·16·18·20번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수를 미분하고, 극한을 미분계수로 바꾸는 연습을 하세요. 구간별 식이 주어지면 적분을 나누세요(9·15·17·23번 대비).
6. 넓이와 운동 문제에서 적분 구간을 먼저 정하세요. 접선 조건의 인수 구조, 매개변수에 따른 넓이, 위치 차의 최대·최소까지 연결하세요(6·10·14·19·24번 대비).