중앙대학교사범대학부속고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

중앙대학교사범대학부속고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 최대·최소와 실근 개수에서 출발해 적분으로 정의된 함수, 운동과 도형의 넓이까지 다룹니다.

문항의 소속 단원만으로 풀이 도구를 제한하기 어렵습니다. 도함수의활용으로 분류된 문항에도 적분식 정리나 절댓값의 미분가능성 판단이 들어갑니다. 반대로 정적분 문항에서도 먼저 미분해 극값과 부호를 확인해야 하는 경우가 있어, 공식 대입 전에 함수의 구조를 읽는 과정이 중요합니다.

초반에는 닫힌구간의 최대·최소, 항상 성립하는 부등식, 대칭구간 적분처럼 출발점이 비교적 뚜렷한 유형이 있습니다. 후반에는 조건에서 함수의 형태를 복원한 뒤 그래프와 적분을 연결합니다. 기본형을 정확히 처리하는 속도와 여러 조건을 순서대로 사용하는 능력을 함께 준비하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 대칭구간에서 우함수와 기함수를 구별하는 5번입니다. 보통 문항은 1~4번, 6·7·10번과 서술·단답형 19·21번입니다. 이 구간에서는 극점과 끝점의 비교, 속도와 위치의 구별, 절댓값의 부호 처리처럼 기본 개념을 정확히 적용해야 합니다.

8·9번 뒤에는 보통으로 분류된 10번이 있으므로 앞 문항에서 막혔다고 다음 문항까지 미룰 필요는 없습니다. 11~18번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 역함수, 주기, 대칭성, 근의 중복처럼 서로 다른 조건을 그래프 해석에 모아야 하는 부담이 이어집니다.

서술·단답형도 전부 같은 수준은 아닙니다. 19·21번에서 기본 원리를 정리해 접근한 뒤 20·22번의 조건 연결에 시간을 남겨 두세요. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 전체의 절반에 해당합니다. 1·7번은 극값과 끝값을 비교하고, 3·9번은 교점으로 실근 개수를 읽습니다. 이후 15~17번과 20번에서는 접촉과 통과, 중근과 부호 변화, 불연속점의 처리까지 구별해야 합니다. 같은 미분 계산이라도 결과를 어떤 조건으로 해석하는지 달라집니다.

정적분은 대칭성의 기본형인 5번에서 적분으로 정의된 함수의 조건을 다루는 12·14번, 구간별 함수를 구성하는 18번으로 이어집니다. 21번은 절댓값과 원래 함수의 차에서 실제로 적분에 기여하는 구간을 가리는 유형입니다. 부정적분의 4번도 도함수 그래프에서 함수의 변화량을 읽는 연결 고리입니다.

정적분의활용에서는 운동을 다루는 6·10번과 넓이를 다루는 11·13·22번이 나옵니다. 이동 거리는 속도의 절댓값을, 위치 변화는 부호를 포함한 속도를 적분한다는 차이를 익히세요. 넓이는 적분에 앞서 경계와 위아래 함수를 확정하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 서술·단답형은 확대

작년도 같은 과목인 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 13문항에서 12문항으로 줄었고 보통은 4문항에서 9문항으로 늘었습니다. 쉬움은 4문항에서 1문항으로 줄어, 어려움 문항 수의 감소만으로 시험 전체가 편해졌다고 판단하기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 도함수의활용으로 같지만 작년 13문항에서 올해 11문항이 되었습니다. 정적분은 4문항에서 5문항, 정적분의활용은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 부정적분은 모두 1문항입니다. 다음 준비에서는 미분 중심의 그래프 연습에 적분의 부호와 넓이 해석을 함께 넣는 편이 좋습니다.

작년 어려움은 8~20번에 이어졌고, 올해는 8·9번과 11~18번, 20·22번에 있습니다. 서술·단답형은 작년 19번에서 올해 19~22번으로 확대되었습니다. 객관식 후반을 풀면서도 서술·단답형을 확인할 시간을 남기고, 조건을 식과 그래프로 설명하는 연습을 해 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 보조함수나 그래프로 바꾼 뒤 경계에서 무엇이 달라지는지 확인해야 합니다. 계산을 시작하기 전에 대칭, 접촉, 중복 여부를 표시해 두는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 구조를 확인하고, 8·9번에서 해석이 길어지면 표시한 뒤 10번으로 넘어가세요. 11~18번이 연속해서 어렵게 분류되어 있으므로 이 구간을 모두 마친 뒤에야 서술·단답형을 보겠다는 방식은 피하는 편이 좋습니다. 전체를 훑어 접근 가능한 문제부터 해결하는 연습을 하세요.

서술·단답형에서는 19번의 도함수 부호 변화와 21번의 적분 구간 분할을 먼저 정리할 수 있습니다. 20번은 근 개수 표, 22번은 접선과 경계 그림을 먼저 남기세요. 풀이가 멈추면 계산을 반복하기보다 아직 사용하지 않은 조건이 무엇인지 표시하고, 연습 때는 조건 해석에 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 살펴보세요.

검토는 부호와 경계를 중심으로 진행하세요. 1·7번은 끝점 누락, 6·10번은 거리와 위치의 혼동, 15·17·19번은 도함수가 영인 점의 성격이 중요합니다. 16·20번은 접점과 중복근을 구별하고, 18번은 평행이동의 세로 변화까지 적분에 반영했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 증감표에서 극값과 구간 전체의 최대·최소를 구별하세요. 끝점까지 비교하고 항상 성립하는 부등식을 최솟값 조건으로 바꾸세요(1·2·7·19번 대비).
2. 방정식을 그래프와 수평선의 교점 문제로 바꾸세요. 일반 높이와 극값 높이, 고정근이 겹치는 높이를 따로 기록하세요(3·9·16·20번 대비).
3. 안쪽 함수의 치역과 도함수의 인수 구조를 정리하세요. 중근에서 부호가 바뀌는지와 절댓값 함수의 미분가능성을 함께 확인하세요(8·15·17번 대비).
4. 부호 있는 적분과 넓이를 구별하는 기본형을 복습하세요. 대칭구간과 절댓값의 구간 분할을 먼저 처리한 뒤 계산하세요(4·5·21번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수는 보조함수를 두고 미분하세요. 대칭성과 주기, 비음수 조건을 그래프에 반영하는 연습으로 확장하세요(12·13·14·18번 대비).
6. 운동과 도형에서는 구하려는 양부터 구별하세요. 위치와 거리의 차이, 역함수의 대칭성, 접선이 만드는 적분 경계를 확인하세요(6·10·11·22번 대비).