중앙대학교사범대학부속고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

중앙대학교사범대학부속고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 범위는 도함수의 활용, 정적분, 정적분의 활용입니다. 객관식과 서술·단답형 모두에서 미분과 적분을 활용하며, 도함수의 부호나 적분의 의미를 그래프와 연결해야 하는 문항이 포함되어 있습니다.

시험의 특징은 함수의 식을 계산하는 단계보다 그 식을 어떤 조건에서 사용할지 판단하는 단계에 있습니다. 이동하는 구간에서 최댓값을 찾거나, 절댓값 그래프로 원래 함수를 추론하거나, 수평선과의 교점 개수로 극값을 제한하는 문항에서는 같은 계산도 구간 설정에 따라 의미가 달라집니다.

서술·단답형은 극값, 거리의 최솟값, 적분으로 정의된 함수, 실근 개수, 운동, 넓이를 다룹니다. 풀이를 쓸 때는 계산 결과뿐 아니라 부호가 바뀌는 이유와 후보를 비교한 근거를 남기는 연습이 필요합니다. 주어진 자료만으로 실제 시험 시간이나 문항별 배점은 판단하지 않고, 풀이 구조를 중심으로 대비 방향을 정리했습니다.

난이도 분포 — 중간의 연속 고난도 구간과 서술형 진입부

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 문항은 없지만, 보통 문항에서는 그래프의 부호 읽기, 접선 조건, 정적분의 성질처럼 접근이 비교적 명확한 내용을 먼저 처리할 수 있습니다. 초반의 3·5번이 어려움이므로 번호가 작다는 이유로 끝까지 붙잡는 방식은 피하세요.

7~10번은 절댓값 적분의 최적화, 적분 조건의 차분, 누적 적분 그래프의 복원, 접선과 실근 조건을 연이어 다룹니다. 같은 정적분 단원 안에서도 출발점이 달라, 한 문항의 접근법을 그대로 다음 문항에 적용하기 어렵습니다. 각 문항을 읽은 뒤 무엇을 새 함수로 둘지 먼저 결정하는 연습이 유용합니다.

서술·단답형의 16·17번에서 시간이 지체되더라도 18·20·21번을 확인하세요. 자동 분류 기준 보통 문항이 뒤에도 남아 있습니다. 난이도 분포를 실제 풀이 순서에 반영하되, 익숙한 개념인지와 필요한 계산량까지 함께 판단하는 것이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수 활용의 비중과 정적분 해석의 부담

도함수의활용이 가장 많은 단원입니다. 그래프의 증가·감소와 극값을 읽는 기본 해석에서 출발해, 움직이는 도형의 공통 넓이와 거리의 최적화까지 이어집니다. 미분식을 구하는 속도만 높이기보다, 어떤 양을 변수로 둘지와 그 변수가 움직일 범위를 먼저 적는 훈련이 필요합니다.

정적분은 구간의 결합과 대칭성을 이용하는 6번에서 출발하지만, 이후에는 적분식을 함수나 관계식으로 읽어야 합니다. 8번은 이웃한 조건의 차이, 9번은 누적 적분 함수의 영점, 10번은 적분과 접선의 관계가 중심입니다. 적분 기호가 보인다고 곧바로 원시함수를 구하려 하면 불필요한 계산이 늘어날 수 있습니다.

정적분의활용에서는 위치와 변위, 속도와 속력, 곡선 사이 넓이를 구분하는 힘이 중요합니다. 13·21번은 넓이 계산 전에 역함수의 대칭성이나 공통 접선 조건을 정리해야 합니다. 15번은 절댓값 함수의 미분가능성과 교점 개수까지 결합하므로, 같은 넓이 문제라도 준비해야 할 개념의 폭이 넓습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 고려해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 함수를 그대로 계산하지 않고, 최댓값 함수나 누적 적분 함수, 수직 이동한 함수로 바꾸어 보아야 한다는 점입니다. 새 함수의 정의와 원래 함수와의 관계를 먼저 써 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 접근이 바로 보이는 1·2·4·6번을 처리하고, 3·5번에서 경우 구분이 정리되지 않으면 표시한 뒤 이동하세요. 7~10번을 연속해서 붙잡기 전에 11·13·14번과 서술·단답형의 내용을 살펴볼 필요가 있습니다. 실제 제한 시간에 맞춘 연습에서는 풀이 순서를 바꾸었을 때 끝까지 검토할 여유가 생기는지 확인하세요.

서술·단답형은 마지막에 한꺼번에 시작하기보다, 접근이 분명한 18·20·21번부터 풀 수 있도록 시간을 남겨 두세요. 16번은 부호 변화, 17번은 거리 하한의 달성 조건, 19번은 교점 개수의 경우 구분을 적어야 합니다. 계산을 마친 뒤 설명을 덧붙이려 하기보다 핵심 근거를 계산 옆에 함께 쓰는 편이 좋습니다.

검토할 때는 문제마다 다른 조건을 구별하세요. 3·7번은 끝점과 내부 후보의 비교, 4·10·19번은 중근과 서로 다른 실근의 구별, 12번은 움직이는 변과 물은 양의 확인이 중요합니다. 14·20번에서는 초기 위치나 단위, 정지 시각을 점검하고, 15·21번에서는 적분 전에 함수의 위아래 관계를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프와 도함수의 부호를 별도로 정리하고 접선 조건을 함수값·미분계수로 나누세요. 극점 후보와 실제 극값의 차이를 설명하는 것부터 시작합니다(1·2·4·16번 대비).
2. 이동 구간과 절댓값 적분의 최대·최소를 연습하세요. 구간 분할, 후보 식 작성, 끝점 비교를 같은 순서로 반복합니다(3·7번 대비).
3. 도형을 좌표와 변수의 식으로 옮기는 훈련을 하세요. 넓이나 거리의 식을 세우기 전에 가능한 위치와 범위를 그림에 표시합니다(5·12·17번 대비).
4. 정적분의 가법성과 누적 적분을 연결하세요. 이웃한 조건을 빼는 방법과 누적 적분의 함수값 차로 되돌리는 방법을 구분합니다(6·8·9·18번 대비).
5. 절댓값 그래프와 수평선의 교점 수를 함께 연습하세요. 접하는 높이와 가로지르는 높이를 나누고 실근 개수 변화의 경계를 표시합니다(10·15·19번 대비).
6. 운동과 넓이의 기본 해석을 마무리하세요. 초기 위치·단위·정지 시각을 확인하고, 역함수 대칭성과 공통 접선 조건을 넓이에 연결합니다(11·13·14·20·21번 대비).