중산고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

중산고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증감과 극값에서 출발해 넓이, 운동, 역함수와 주기함수의 적분까지 이어집니다.

기본 문항에서는 미분과 적분의 뜻을 정확히 적용하는지가 중요합니다. 주어진 부정적분을 다시 미분하거나 정적분 구간을 합치는 문제는 계산을 길게 벌이지 않아도 됩니다. 반면 넓이와 거리는 함수나 속도의 부호를 먼저 확인해야 하므로 공식 대입만으로는 충분하지 않습니다.

후반에는 조건을 다른 표현으로 바꾸는 단계가 늘어납니다. 다항식의 관계를 곱으로 묶어 차수를 비교하거나, 함수의 비를 직선의 기울기로 해석하는 접근이 필요합니다. 계산 연습과 함께 첫 식을 선택한 이유를 말로 설명하는 연습을 해 두세요.

난이도 분포 — 기본 계산 이후의 조건 연결

쉬움 문항은 초반에 주로 배치되어 있습니다. 1번의 닫힌구간 최대·최소, 4·5번의 미분과 부정적분 관계, 6·7번의 정적분 계산을 안정적으로 처리하는 것이 출발점입니다. 10번도 쉬움으로 분류되지만 이동 거리와 변위를 구별하지 않으면 접근이 달라집니다.

보통 문항은 개념을 연결하는 중간 단계입니다. 8·9번은 그래프의 넓이, 11번은 위치 차이의 최대, 12번은 관계식을 미분한 뒤 원래 함수를 복원하는 문제입니다. 17·19번도 보통이므로 앞선 고난도 문제에 막혔다면 이 문항들의 풀이 가능성을 먼저 확인하세요.

자동 분류 기준 어려움 문항에서는 경우 나누기와 경계 검토가 두드러집니다. 14·16번은 구간에 따라 그래프 해석이 바뀌고, 22번은 식을 나눈 뒤에도 근의 허용 범위와 중복을 검사해야 합니다. 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 것은 아니므로 자신의 오답 원인과 함께 활용하세요.

출제 단원 — 도함수 활용과 적분의 구조 해석

도함수의활용은 극값 계산에만 머물지 않습니다. 2번은 수평선과 삼차함수의 교점, 11번은 두 점의 위치 차이, 16번은 달라지는 구간의 최대·최소, 22번은 방정식의 실근 개수로 확장됩니다. 도함수의 부호를 구한 뒤 그것이 원래 조건에 어떤 의미인지 연결해야 합니다.

부정적분은 4·5번의 정의 확인에서 12·15·20번의 함수 결정으로 이어집니다. 특히 관계식을 미분할지 적분할지, 곱의 미분 구조가 있는지를 먼저 살펴야 합니다. 적분상수와 다항식의 차수 조건을 별도 항목으로 적어 두면 계산 중 누락을 줄일 수 있습니다.

정적분과 그 활용에서는 구간과 부호가 공통 축입니다. 14번은 절댓값과 극값, 17번은 대칭구간의 홀짝성, 18번은 역함수와 주기성을 다룹니다. 21번처럼 직접 원시함수를 구하지 않고 함수의 대소를 적분의 대소로 옮기는 문제도 준비해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 변형한 뒤 원래 조건으로 돌아가는 검토가 필요합니다. 풀이를 복습할 때 계산 결과보다 차수, 구간, 중복을 검사한 위치에 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·3~7번처럼 기본 개념으로 출발할 수 있는 문항을 먼저 처리하세요. 8·9·10번은 적분 계산에 앞서 부호와 구간을 표시하면 되풀이 계산을 줄일 수 있습니다. 14~16번에서 풀이가 길어지면 표시하고 17·19번의 접근 가능성을 확인하는 운영을 연습하세요.

서술·단답형에서는 첫 근거를 짧게 적어 두는 것이 좋습니다. 17번은 대칭구간에서 사라지는 항, 18번은 주기와 역함수의 넓이 관계, 20번은 곱의 미분 구조가 출발점입니다. 21번은 함수의 부호와 부등호 방향을 정리한 뒤 적분해야 합니다. 연습할 때 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하세요.

마지막 검토는 누락하기 쉬운 조건을 중심으로 하세요. 1번은 끝점과 극점, 2번은 서로 다른 실근이라는 조건, 3번은 실제 시간의 범위, 10번은 속도의 부호 변화가 중요합니다. 16번은 경우를 나눈 경계의 포함 여부를, 22번은 허용 범위와 공통근을 확인하세요. 22번이 객관식이라는 구성도 미리 익혀 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 부정적분의 정의부터 확인하세요. 주어진 함수가 원래 함수인지 원시함수인지 구분하고, 극한을 미분계수로 읽는 연습을 하세요(4·5번 대비).
2. 도함수의 부호표와 그래프를 연결하세요. 끝점 비교, 수평선의 교점, 부등식의 성립 범위를 같은 그래프에 표시해 보세요(1·2·19번 대비).
3. 정적분의 구간 합성과 대칭성을 복습하세요. 홀수 차수 항이 사라지는 이유를 설명하고 남은 항만 계산하세요(6·7·17번 대비).
4. 넓이와 이동 거리는 부호표를 먼저 만드세요. 접선과 곡선의 차, 두 곡선의 차를 정리하고 적분 구간을 확정하세요(8·9·10·13번 대비).
5. 관계식의 미분·적분과 차수 비교를 묶어 연습하세요. 곱의 미분을 찾고 적분상수와 접점의 중근 조건을 함께 확인하세요(12·15·20번 대비).
6. 구간이 바뀌는 그래프와 교점 개수 문제를 연습하세요. 경계에서 극값이나 근이 합쳐지는 상황을 별도로 점검하세요(11·14·16·22번 대비).
7. 역함수의 넓이와 주기성, 부등식의 적분으로 마무리하세요. 직접 식을 구하기 어려울 때 그래프의 대칭과 대소 관계로 바꾸어 보세요(18·21번 대비).