압구정고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

압구정고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 증가·감소, 평균값 정리와 롤의 정리에서 적분의 정의와 넓이·운동 문제까지 이어집니다.

초반에는 접선의 기울기와 감소 구간, 적분으로 정의된 함수처럼 기본 개념을 직접 적용하는 문제가 보입니다. 이후에는 접선의 개수를 실근의 개수로 바꾸거나, 도형의 부피를 한 변수의 함수로 만드는 준비 과정이 필요합니다. 계산 공식을 아는 것과 적용할 함수를 구성하는 능력을 함께 점검하는 시험입니다.

객관식 후반의 복합 조건에 시간을 쓰면서도 서술·단답형을 남겨 두지 않는 운영이 중요합니다. 17~20번은 자동 분류 기준 쉬움이지만, 적분상수와 절댓값 처리, 운동 방향의 변화, 부등식 증명의 근거를 정확히 써야 합니다. 분류가 낮은 문제에서도 결론에 이르는 이유를 생략하지 마세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 해석

쉬움 문항은 초반의 1·2·3·4·6번과 서술·단답형 17·18·19·20번입니다. 미분과 적분의 기본 연산을 정확히 처리하면 접근할 수 있지만, 감소와 도함수의 부호, 이동거리와 위치 변화량을 구별하는 개념 확인이 포함되어 있습니다. 빠른 계산 뒤에도 요구한 대상이 맞는지 읽어 보세요.

보통 문항은 5·7·8·9·11·13·15·21·22번입니다. 구간을 나누거나 접점을 미지수로 두는 정도의 준비가 필요하며, 절댓값 그래프와 실근 개수처럼 그림이 계산 방향을 결정하는 문제도 있습니다. 익숙한 식이 보인다고 바로 적분하거나 전개하면 경계와 부호를 놓치기 쉽습니다.

어려움 문항은 10·12·14·16번으로, 객관식 후반에 보통 문항과 섞여 있습니다. 자동 분류 기준으로 읽어야 하며, 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 한 문제에서 막히면 뒤의 접근 가능한 문제를 확인하고, 조건을 나누는 기준을 잡은 뒤 다시 돌아오는 전략이 적절합니다.

출제 단원 — 도함수 활용을 중심으로 적분과 연결

가장 비중이 큰 도함수의활용은 단순한 도함수 계산에 머물지 않습니다. 9·10번은 접점과 접선의 조건을 연결하고, 12번은 기하 관계로 부피 함수를 만들며, 13·15번은 극값을 통해 실근 개수를 판단합니다. 증가·감소표를 그린 뒤 그 결과가 원래 질문에 어떤 의미인지 해석하는 연습이 우선입니다.

정적분의활용은 6·8번의 운동과 11·22번의 넓이, 16번의 복합적인 함수 해석으로 나뉩니다. 같은 적분이라도 속도의 부호를 유지하는지 절댓값을 취하는지, 두 그래프 중 어느 쪽이 위인지에 따라 식이 달라집니다. 적분을 시작하기 전 구간과 부호를 표시하는 습관이 여러 유형에 공통으로 필요합니다.

정적분과 부정적분은 기본 관계를 다지는 역할을 합니다. 4번의 적분식 미분, 7번의 구간별 적분, 17번의 대칭성과 절댓값, 20번의 적분상수 결정을 연결해 복습하세요. 5번처럼 성질의 타당성을 판단할 때는 기호 모양만 비교하지 말고 정의와 간단한 반례로 검토하는 능력도 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리와 함수 구성의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산할 함수를 먼저 정해야 합니다. 틀린 문제를 복습할 때도 미분 계산의 실수인지, 접점이나 최솟값 후보를 빠뜨린 것인지 구별해 기록하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형과 서술·단답형의 접근 가능한 문항을 함께 확보하세요. 10번에서 접점의 경우 정리가 길어지면 표시하고 뒤를 확인하는 편이 좋습니다. 17~20번을 보기 전에 객관식의 어려움 문항을 모두 끝내려 하면, 기본 개념으로 해결할 문항을 검토할 시간이 줄어들 수 있습니다.

서술·단답형에서는 계산식만 이어 쓰기보다 근거를 먼저 적어 두세요. 18번은 속도의 부호 변화, 19번은 전체 실수 범위에서의 최솟값, 21번은 차함수의 인수 조건이 출발점입니다. 22번은 앞에서 구한 함수와 접선이 뒤의 넓이 계산으로 이어지므로 중간 결과를 확인한 뒤 다음 단계로 넘어가세요.

마지막 검토에서는 경계와 부호에 집중하세요. 8·18번은 정지와 방향 전환의 차이, 13·15번은 극값의 높이에서 달라지는 서로 다른 실근 개수, 16번은 연결점의 좌우 미분계수가 중요합니다. 6·11·17·22번의 적분은 구간 분할과 위아래 관계를 다시 읽고, 계산한 대상이 이동거리인지 위치 변화량인지 넓이인지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호와 접선 기울기, 평균값 정리의 기본형을 복습하세요. 도함수를 구한 뒤 원래 조건으로 돌아와 해석하는 문장을 붙이세요(1·2·3번 대비).
2. 미분과 적분의 관계를 정의부터 정리하세요. 적분상수, 위끝의 변수, 대칭 구간과 절댓값의 처리를 구별하세요(4·5·7·17·20번 대비).
3. 운동 문제는 위치·속도·가속도의 관계와 속도 부호표를 함께 작성하세요. 이동거리와 위치 변화량을 같은 그래프에서 비교하세요(6·8·18번 대비).
4. 접점을 미지수로 둔 접선 문제에서 출발해 실근 개수와 기울기 부호를 결합하세요. 보조함수의 그래프에 경계를 표시하세요(9·10번 대비).
5. 증가·감소와 극값을 도형 최적화, 부등식 증명, 실근 개수 조건에 적용하세요. 차함수로 조건을 모으는 연습도 이어가세요(12·13·15·19·21번 대비).
6. 정리의 가정을 확인하는 연습과 구간별 함수의 넓이 계산을 마무리하세요. 원시함수의 연결, 최솟값 후보의 전환, 접선과 곡선의 대소를 풀이 전에 정리하세요(11·14·16·22번 대비).