중앙대학교사범대학부속고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

중앙대학교사범대학부속고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 확인되는 출제 범위는 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 증가와 감소, 극값, 실근의 개수부터 넓이와 운동까지 미분과 적분의 해석을 함께 다룹니다.

초반에는 도함수의 부호나 정적분의 기본 성질을 직접 적용하지만, 이후에는 절댓값과 대칭, 매개변수, 구간 제한이 결합됩니다. 도함수를 구할 수 있다는 것과 그래프의 모양을 판단할 수 있다는 것은 별도의 능력이므로, 식을 정리한 뒤 반드시 부호표나 개형으로 연결하세요.

서술·단답형 19번은 조건에 맞는 그래프의 개형을 그리는 문항입니다. 계산 결과를 적는 연습만으로는 준비가 부족할 수 있습니다. 접하는 점과 통과하는 점, 극점과 양 끝 방향을 구별해 좌표평면에 표현하는 훈련이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2·4·5번입니다. 증가·감소 구간, 위치와 가속도, 적분으로 정의된 등식, 두 곡선 사이의 넓이를 기본 원리로 처리합니다. 이 구간에서는 부호와 단위를 정확하게 확인하면서 계산 시간을 줄이는 것이 좋습니다.

보통은 3·6·7·21번입니다. 적분상수 결정, 절댓값 입력의 구간 분할, 도함수의 상한을 이용한 함숫값 비교, 운동 거리 해석처럼 기본 개념을 다른 표현으로 옮겨야 합니다. 단순한 공식 대입보다 조건의 의미를 확인하는 과정이 필요합니다.

8~20번은 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 실근 개수, 대칭으로 이어 붙인 함수, 이동하는 적분 구간 등 풀이 방향을 정해야 하는 문제가 연속됩니다. 이 분류가 실제 체감 난도와 같다는 뜻은 아니며, 개별 문항에서 자신이 조건을 어디까지 정리할 수 있는지 점검하는 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용이 중심

도함수의활용은 1·2번의 기본형에서 8·9·15·16·20번의 실근과 교점 판단으로 확장됩니다. 극값의 높이와 수평선의 위치를 연결하고, 중근이 생기는 경계를 따로 확인하는 학습이 가장 우선입니다. 12번의 입체도형과 17번의 영역 해석처럼 다른 소재도 함수로 바꾸어 다룹니다.

정적분은 4·6번의 기본 성질에서 14·18번의 함수 분석으로 이어집니다. 특히 적분식 전체를 전개하기 전에 미분해서 변화율을 구할지, 부정적분의 차로 바꾸어 근의 구조를 볼지 선택하는 능력이 중요합니다.

정적분의활용은 5번의 넓이, 11번의 구간 이동과 대칭, 21번의 운동 거리입니다. 부정적분 3번도 인수정리와 연결되어 있어 적분상수를 임의로 생략할 수 없습니다. 적분 계산과 별개로 구간, 부호, 초기 조건을 먼저 기록하는 습관을 들이세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술 구성과 도함수 비중의 변화

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 작년 16~21번에서 올해 19번으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 늘었지만 쉬움도 생겼으므로 시험 전체가 한 방향으로만 변했다고 판단하기보다 초반과 중후반의 차이에 주목하는 편이 적절합니다.

도함수의활용은 작년 9문항에서 올해 13문항으로 늘었고, 정적분은 6문항에서 4문항, 정적분의활용은 6문항에서 3문항으로 줄었습니다. 올해는 부정적분도 포함됩니다. 공통 범위 안에서도 그래프와 실근 개수 해석의 학습 우선순위를 높일 근거가 있습니다.

작년 어려움은 3·5·7·8·9·10·12·15·16·17·19번에 흩어져 있었고 올해는 8~20번에 이어집니다. 다음 시험 대비에서는 초반 기본형의 정확도를 확보하면서 연속된 조건 해석 문제를 풀어 보세요. 형식이 줄었다는 이유로 그래프 표현과 설명 연습까지 줄이지 않는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 해설의 조건 결합을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산보다 먼저 구간이나 근의 성질을 분류해야 한다는 것입니다. 식, 부호표, 그래프를 오가면서 각 조건이 어디에 쓰였는지 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 구조를 빠르게 확인하고, 접근이 막히는 문항은 표시한 뒤 전체를 훑으세요. 8~20번에 어려움 문항이 이어지므로 한 문항에 오래 머물면 뒤쪽의 21번을 확인할 시간이 줄어듭니다. 모의 풀이에서는 첫 접근에서 핵심 조건을 정리할 수 있었는지도 기록하세요.

19번은 개형을 그리는 서술·단답형이므로 별도로 확인할 시간을 남겨 두세요. 인수 구조와 증가·감소를 간단히 정리한 다음 축과의 관계를 표현해야 합니다. 12·14·17·18번처럼 단계가 많은 문제는 이미 얻은 조건을 여백에 묶어 두면 같은 계산을 반복하는 일을 줄일 수 있습니다.

최종 검토는 경계를 중심으로 하세요. 9번은 공통인수를 나누며 사라진 교점, 10번은 도함수의 부호 변화, 16번은 허용 구간, 17번은 원의 내부 조건이 중요합니다. 21번에서는 시간과 속도의 단위 및 거리의 구성 요소를 확인하고, 정적분의 값과 넓이를 무조건 같은 것으로 취급하지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표와 위치·속도·가속도의 관계부터 복습하세요. 근을 구한 뒤 구간 조건으로 걸러 내는 과정을 연습하세요(1·2·10번 대비).
2. 적분상수와 정적분의 기본 성질을 정리하세요. 인수정리나 기준 입력을 이용해 미지수를 결정한 뒤 절댓값 구간을 나누세요(3·4·6·7번 대비).
3. 삼차함수의 중근과 극값, 수평선의 교점을 묶어 공부하세요. 접하는 경우와 서로 다른 실근의 개수를 함께 검사하세요(8·9·15·16·20번 대비).
4. 대칭으로 이어 붙인 함수와 조건에 맞는 개형을 연습하세요. 접합점의 미분가능성과 축에 접하는 위치를 따로 표시하세요(13·19번 대비).
5. 적분 함수는 미분으로 변화율을 보거나 부정적분의 차로 바꾸세요. 구간 경계와 중복근을 판단한 근거를 글로 남기세요(14·18번 대비).
6. 넓이·운동·도형의 조건을 함수로 나타내세요. 닮음과 대칭을 활용하고 영역의 경계나 단위를 검토하세요(5·11·12·17·21번 대비).