중앙대학교사범대학부속고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

중앙대학교사범대학부속고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 존재 조건과 연속성에서 출발해 미분가능성, 평균값 정리, 접선의 활용까지 다룹니다.

기본 계산과 조건 해석이 함께 필요합니다. 곱의 미분법이나 유리화로 처리하는 문제도 있지만, 불연속인 함수들의 곱과 차가 연속이 되는 조건, 절댓값을 취한 그래프의 교점 수처럼 식의 의미를 먼저 해석해야 하는 문제도 있습니다. 계산을 시작하기 전에 어떤 점에서 조건을 점검할지 정하는 습관이 도움이 됩니다.

특히 객관식 후반은 함수를 결정하는 과정과 결정한 함수를 활용하는 과정이 이어집니다. 계수를 구했다고 멈추지 말고 그래프의 모양과 접선의 위치까지 연결해야 합니다. 반면 서술·단답형에서는 극한의 대소 관계, 사잇값의 정리, 접선 사이 거리 등 출발 개념을 정확히 적는 연습이 중요합니다.

난이도 분포 — 객관식 중·후반에 집중된 어려움

자동 분류 기준 쉬움인 3·4번은 각각 곱의 미분법과 미분계수의 정의를 확인합니다. 보통인 1·2·5·6번에서도 극한값과 함숫값의 구별, 유리화, 무한대에서의 차수 판단, 평균변화율의 해석이 필요합니다. 초반부터 무조건 대입하기보다 문제에 맞는 기본 개념을 골라야 합니다.

7~10번은 어려움으로 이어지며, 실근 개수와 극값의 관계, 도형의 넓이로 표현한 극한, 그래프의 연속성 등을 다룹니다. 11번에서 보통 문항이 나온 뒤 12~18번은 다시 어려움입니다. 한 문제에 막혔다는 이유로 뒤쪽의 접근 가능한 문항까지 미루지 않도록 전체를 확인하세요.

서술·단답형 19~22번은 모두 보통으로 분류됩니다. 그렇더라도 부등식을 제곱할 때의 부호나 정리를 적용할 연속성 조건을 빠뜨리면 논리가 끊깁니다. 자동 분류 기준은 풀이 부담을 살펴보는 참고 자료이며, 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 연속 조건과 접선 활용의 연결

함수의연속은 단순히 좌우극한을 같게 두는 계산에서 여러 함수의 관계를 해석하는 문제로 확장됩니다. 9번은 그래프의 불연속 지점에서 곱을 따로 확인하고, 10번은 분모의 영점과 불연속점을 구별해야 합니다. 15·16번은 연속 조건을 처리한 뒤 부호 변화나 교점 개수까지 살펴야 합니다.

도함수의활용에서는 접선의 기울기를 구하는 것과 접선이 지나는 점을 찾는 것을 구분해야 합니다. 13·14번은 가능한 접점 후보를 나누어 검토하며, 18번은 절댓값 때문에 함수식과 미분가능성이 함께 바뀝니다. 22번은 평행한 접선 사이의 거리를 실제 도로의 폭으로 해석합니다.

함수의극한과 미분계수와도함수도 다른 단원의 바탕이 됩니다. 8번은 도형의 길이와 높이를 먼저 식으로 표현해야 하고, 11·12·17번은 연속과 미분가능의 차이를 정확히 적용해야 합니다. 공식 암기와 함께 조건을 말로 설명하는 연습을 병행하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 절댓값을 처리하기 전후의 그래프를 구분하고, 계산으로 얻은 후보가 처음 설정한 경우에 맞는지 되돌아가 확인해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 7~10번에서 그래프나 경우 정리가 길어지면 표시하고 11번과 서술·단답형도 확인하는 편이 좋습니다. 객관식 후반을 모두 마쳐야 서술·단답형을 시작한다는 순서를 고정하지 말고, 연습 때부터 전체를 훑으며 풀 수 있는 문제를 고르세요.

그래프 문제에서는 불연속 가능 지점, 영점, 접점 후보를 먼저 표시하세요. 9·10·15번은 좌극한·우극한·함숫값을 따로 적으면 조건이 섞이는 일을 줄일 수 있습니다. 13·14번은 접선이 지나는 점을 접점으로 착각하지 않도록 접점에 별도 변수를 두고, 나온 후보가 해당 가지에 속하는지 확인하세요.

마지막 검토에서는 계산 재현보다 조건 누락을 우선 점검하세요. 19번은 부등식을 제곱할 수 있는 부호 조건, 20번은 연속성과 양 끝의 부호, 21번은 약분 전 극한의 존재 조건이 중요합니다. 22번은 도로의 폭을 수직거리로 잡았는지와 통과 조건의 부등호, 음의 정수 조건까지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한값과 함숫값을 분리하는 연습부터 하세요. 정수 여부에 따라 정의가 달라지는 함수와 무리식의 유리화를 함께 복습하세요(1·2번 대비).
2. 곱의 미분법과 미분계수의 정의를 정리하세요. 대칭적으로 이동한 입력에서도 분모의 부호와 변화량을 맞추어 보세요(3·4번 대비).
3. 극한의 존재 조건으로 차수와 인수를 결정하는 유형을 연습하세요. 무한대에서의 차수 판단과 유한한 점에서의 분자 소멸 조건을 구별하세요(5·21번 대비).
4. 조각함수의 경계에서 좌우극한과 함숫값을 표로 정리하세요. 곱이나 차가 연속이 되는 조건을 거친 뒤 미분가능성까지 확장하세요(9·10·11·12·15번 대비).
5. 절댓값 그래프를 그리고 부호가 바뀌는 점과 중근을 구분하세요. 교점 개수가 변하는 경계와 접점에서의 매끄러움을 함께 확인하세요(7·16·17·18번 대비).
6. 접선은 기울기 조건으로 접점 후보를 찾고 위치 관계로 검토하세요. 길이·넓이·평행선 사이 거리까지 연결해 보세요(6·8·13·14·22번 대비).
7. 극한의 대소 관계와 사잇값의 정리는 적용 조건까지 문장으로 쓰세요. 양수 여부와 연속인 구간을 먼저 밝히는 연습으로 마무리하세요(19·20번 대비).