영파여자고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

영파여자고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분을 이용한 함수 해석과 적분을 이용한 넓이·운동 해석을 함께 다룹니다.

기본형에서는 적분상수를 정하거나 적분구간을 합치고 평균값 정리를 적용합니다. 중간 구간에서는 그래프의 교점, 역함수의 대칭, 속도와 위치의 관계가 중요합니다. 계산법을 알고 있어도 어떤 함수를 적분하는지, 어느 구간에서 비교하는지가 불분명하면 풀이가 길어질 수 있습니다.

후반에는 주어진 함수식을 바로 계산하기보다 조건으로 구조를 복원해야 합니다. 감소하는 구간에서 도함수의 인수를 추론하거나 적분 등식을 미분해 함수 사이의 관계를 얻는 방식입니다. 연습할 때 식을 정리한 근거와 구간을 나눈 이유를 함께 적어 두세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 해석

쉬움 문항에서는 부정적분과 정적분의 기본 성질, 속도의 부호, 도함수 그래프, 평균값 정리를 확인합니다. 다만 운동 방향의 변화에는 속도의 부호 변화가 필요하고, 평균값 정리에서 얻은 후보는 열린구간 안에 있어야 합니다. 기본형도 조건을 확인하는 절차까지 익혀야 안정적으로 처리할 수 있습니다.

보통 문항은 4번과 7~14번, 서술·단답형 19번입니다. 극값과 실근 개수, 넓이와 최솟값, 위치 차와 거리처럼 서로 연결된 개념을 구별하는 부담이 있습니다. 그래프를 간단히 그린 뒤 계산하면 구간의 부호나 최댓값 후보를 놓치는 실수를 줄일 수 있습니다.

15~18번은 자동 분류 기준 어려움이 연속됩니다. 함수의 이동 관계를 적분으로 옮기고, 미분가능성이나 연속성으로 가능한 형태를 제한해야 합니다. 이 구간에 시간을 모두 쓰기보다 19번의 도형 최대 문제를 먼저 확인하고, 20번의 경우 구분을 정리할 시간을 남기는 운영이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 해석

가장 많은 도함수의활용은 증가·감소, 극대·극소, 방정식의 실근 개수, 도형의 최대까지 폭넓게 출제되었습니다. 도함수의 영점을 찾는 것에서 끝내지 말고 좌우의 부호를 확인해 원래 함수의 움직임을 설명해야 합니다. 16번은 감소 구간에서 도함수를 복원하는 방향으로 사고를 바꾸어야 합니다.

정적분의활용에서는 넓이와 운동을 구별해 준비하세요. 8·11·12번은 대칭이나 두 곡선의 대소를 이용해 적분식을 세우고, 13·14번은 속도를 적분한 위치를 다시 비교합니다. 15번은 함수의 대칭과 평행이동 관계를 이용하므로 명시적인 함수식을 구하려 하기보다 구간 사이의 관계를 읽는 것이 중요합니다.

정적분 단원에서도 단순 계산만 나오지는 않습니다. 9번은 고정 구간의 적분을 상수로 처리하고, 18번은 적분 등식의 미분과 연속성을 연결하며, 20번은 최댓값으로 정의한 함수를 구간별로 적분합니다. 단원 이름과 별개로 함수 해석이 계산의 앞 단계에 놓인다는 점을 염두에 두세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 기본형 증가와 후반 집중

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준으로 쉬움과 어려움 문항이 함께 늘고 보통 문항은 줄었습니다. 따라서 전체가 일괄적으로 쉬워지거나 어려워졌다고 해석하기보다 기본형을 처리하는 구간과 조건 해석이 필요한 구간의 차이가 커졌다고 보는 편이 적절합니다.

도함수의활용이 가장 많은 단원이라는 점은 같습니다. 정적분은 작년 7문항에서 올해 5문항으로 줄고, 정적분의활용은 작년 4문항에서 올해 6문항으로 늘었습니다. 적분 계산을 반복하는 데서 나아가 넓이, 위치, 함수의 이동 관계에 적분을 적용하는 연습을 함께 해야 합니다.

작년 어려움 문항은 13·14·16·20번이고 올해는 15·16·17·18·20번입니다. 올해는 객관식 마지막 구간에 연속해서 배치된 점이 눈에 띕니다. 다음 시험을 준비할 때는 기본형 처리 속도를 확보한 뒤 그래프에서 조건을 복원하고 구간별 함수를 만드는 유형으로 넘어가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 단일 문항의 난도 순위가 확인된 것은 아닙니다. 공통적으로 그래프의 상태가 달라지는 경계를 먼저 찾아야 하므로, 계산 전에 영점·극점·구간의 끝점을 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반에는 기본 성질이 바로 보이는 문항부터 처리하되 조건 확인을 생략하지 마세요. 4번의 판별식 조건이나 7번의 교점 해석에서 오래 멈춘다면 표시하고 다음으로 넘어가세요. 15~18번에 들어가기 전에는 남은 서술·단답형을 훑어 19번의 넓이 식을 세울 수 있는지 확인하는 것이 좋습니다.

서술·단답형에서는 최댓값을 얻는 계산보다 최대임을 설명하는 근거를 남겨야 합니다. 19번은 변수의 범위와 증감을, 20번은 각 구간에서 어떤 점이 최댓값을 주는지를 적으세요. 연습할 때 식을 만드는 시간과 적분하는 시간을 나누어 살펴보면 풀이가 막히는 원인을 찾기 쉽습니다.

검토는 부호와 경계에 집중하세요. 12번은 곡선의 대소가 바뀌는 지점, 13·14번은 거리와 위치의 차이, 17번은 중근에서의 미분가능성이 중요합니다. 18·20번은 구간별 식의 적용 범위와 경계의 연결을 확인하고, 적분의 아래끝과 위끝도 다시 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분의 적분상수와 정적분의 구간 성질부터 점검하세요. 적분 방향과 조건 대입을 짧은 풀이로 정리하세요(1·2·9번 대비).
2. 도함수의 부호표를 그리고 원래 함수의 증감을 설명하세요. 평균값 정리와 실근 개수도 그래프에 연결하세요(3·4·5·6·7번 대비).
3. 넓이를 구하기 전에 교점과 위아래 곡선을 정하세요. 역함수 대칭과 매개변수가 포함된 넓이의 최솟값으로 확장하세요(8·11·12번 대비).
4. 속도를 적분할 때 초기 위치를 먼저 쓰세요. 위치 차에 절댓값을 적용하고 끝점과 극값 후보를 비교하세요(13·14번 대비).
5. 함수의 이동과 도함수 조건을 식으로 복원하세요. 대칭 구간의 적분, 부호로 정한 인수, 절댓값의 미분가능성을 묶어 연습하세요(15·16·17번 대비).
6. 구간별 함수를 구성한 뒤 적분하는 풀이를 쓰세요. 적분 등식의 미분, 연속성, 도형의 최대, 움직이는 구간의 최댓값을 단계별로 설명하세요(18·19·20번 대비).