보인고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

보인고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한의 계산 원리와 미분의 정의가 접선 및 그래프 해석으로 연결됩니다.

초반에는 미분 공식과 항등식, 인수 구조를 이용하는 문제가 나오고, 이어서 접선의 방정식과 그래프의 연속 조건을 묻습니다. 같은 미분 문제라도 식을 미분하는 단계와 그 결과를 기하적 관계로 옮기는 단계를 구분해야 합니다.

후반에는 절댓값과 평행이동, 구간별 정의, 거리의 최댓값처럼 조건을 먼저 정리해야 하는 문제가 있습니다. 복잡해 보이는 식을 바로 계산하기보다 식이 바뀌는 지점과 적용할 정의를 먼저 적는 연습이 효과적입니다.

난이도 분포 — 후반의 쉬움 문항도 함께 확인

쉬움은 1·2·3·16·20번입니다. 앞부분의 미분 기본형 외에도 후반의 극한 계산과 미분계수 정의 문제가 포함됩니다. 서술·단답형이라는 형식만 보고 오래 걸릴 것으로 판단하면 확보할 수 있는 문항을 놓칠 수 있습니다.

보통은 4·5·6·7·8·9·10·12번입니다. 접선의 조건을 방정식으로 바꾸거나 평균변화율을 누적하는 등 풀이 방향을 정하는 과정이 필요합니다. 특히 12번은 평균값 정리로 얻은 하한이 실제로 가능한지 확인하는 데까지 풀이를 이어가야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 후반에 주로 배치되지만 연속되어 있지는 않습니다. 11번의 도형 해석, 14·15번의 경계 검사, 18·19번의 미분가능성처럼 부담의 종류도 다릅니다. 분류를 실제 응시자의 체감과 동일하게 단정하기보다 자신의 취약한 접근법을 찾는 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 미분의 정의와 경계 해석이 중심

미분계수와도함수는 1·2·3·10·14·18·19·20번에 분포합니다. 미분 공식뿐 아니라 항등식의 차분, 평균변화율, 구간별 함수의 미분가능성까지 포함합니다. 기본 계산을 마친 뒤 연속 조건과 좌우 미분계수 조건을 따로 쓰는 연습으로 확장하세요.

도함수의활용에서는 5·8·9·21번의 접선 및 수직 관계와 12번의 평균값 정리가 중요합니다. 접점을 미지수로 두는 방식, 같은 점에서 접하기 위한 조건, 법선의 기울기를 구별해야 합니다. 기울기만 맞춘 뒤 접점이나 지나는 점의 조건을 빠뜨리지 마세요.

함수의극한은 6·11·13·16·17번으로, 인수분해와 유리화에서 도형의 좌표화 및 교점 개수 해석까지 폭이 넓습니다. 함수의연속은 4·7·15번이며 그래프나 부호에 따라 식이 달라지는 상황을 다룹니다. 극한값을 구하는 기술과 함수가 정의된 방식의 해석을 함께 준비해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 극한 중심에서 미분 쪽으로 비중 이동

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 8문항으로 늘고, 보통은 10문항에서 8문항으로 줄었습니다. 서술·단답형도 2문항에서 5문항으로 늘었으므로, 결과를 고르는 연습과 함께 조건과 풀이 근거를 직접 적는 연습의 비중을 높일 필요가 있습니다.

함수의극한은 7문항에서 5문항, 함수의연속은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 반면 미분계수와도함수는 5문항에서 8문항, 도함수의활용은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 극한과 연속의 기본을 유지하면서 미분가능성과 접선 관계로 연결하는 학습이 이번 구성에 맞습니다.

작년 어려움은 9·10·15·16·19·20번이고, 올해는 11번부터 후반에 걸쳐 나타납니다. 올해 서술·단답형에는 쉬움인 16·20번도 포함되므로 형식별로 난도를 일괄 판단하지 마세요. 다음 시험 준비에서는 전체 문제를 살펴 접근 가능한 문항을 골라 푸는 연습도 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 원래 조건을 교점 개수, 구간별 함수, 매개변수 관계로 다시 표현해야 한다는 것입니다. 풀이가 막히면 전개를 늘리기보다 무엇을 변수로 삼고 어느 경계에서 경우를 나눌지 먼저 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 미분 공식과 기본 극한처럼 바로 접근할 수 있는 문항을 확보하세요. 11번에서 도형을 식으로 옮기는 시간이 길어지면 표시하고 뒤 문항을 살펴보세요. 후반의 16·20번도 먼저 확인하여 어려운 문제에 머무르느라 기본 문항을 놓치는 일을 줄이세요.

그래프 문항은 계산 전에 경계와 포함 여부를 표시하세요. 7번은 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽고, 14·15번은 절댓값과 부호 변화가 식의 선택에 미치는 영향을 확인해야 합니다. 18·19번에서는 연속임을 확인한 뒤 미분가능성을 판단하는 순서를 유지하세요.

서술·단답형에서는 방법을 요구한 조건을 먼저 읽으세요. 특히 20번은 미분계수의 정의를 이용하지 않으면 답 점수만 인정한다는 조건이 있습니다. 최종 검토에서는 8·9번의 접선 존재 및 접점 조건, 19번의 매개변수 제한, 21번의 자취 범위가 빠지지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분 공식과 도함수의 정의를 연결하세요. 함수값의 차를 증분으로 나누는 과정을 직접 쓰고, 중복 인수의 의미도 복습하세요(1·2·3·20번 대비).
2. 극한은 통분·인수분해·유리화 중 알맞은 변형을 먼저 고르세요. 함수 결정 문제에서는 차수와 영점 조건을 함께 정리하세요(6·11·13·16번 대비).
3. 연속과 미분가능성은 경계별 표로 연습하세요. 함숫값, 좌우 극한, 좌우 미분계수를 순서대로 확인하고 절댓값과 부호 조건을 추가하세요(4·7·14·15·18·19번 대비).
4. 접점을 미지수로 둔 접선 방정식부터 복습하세요. 절편, 외부의 점, 공통 접점, 수직 조건을 각각 어떤 식으로 옮기는지 구별하세요(5·8·9번 대비).
5. 평균변화율과 평균값 정리를 구별하세요. 변화량을 누적하는 경우와 도함수의 조건에서 함숫값을 제한하는 경우를 비교하세요(10·12번 대비).
6. 교점 개수와 자취 문제는 그림과 식을 함께 사용하세요. 경계에서의 개수 변화와 매개변수 소거 뒤 가능한 범위를 확인하세요(17·21번 대비).