매탄고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

매탄고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 무한대에서의 극한과 그래프 판독부터 접선, 평균값 정리, 미분가능성의 조건까지 다룹니다.

기본형에서는 식을 간단히 정리하거나 정의에 맞추는 능력이 필요합니다. 그러나 후반에는 극한의 존재로 함수의 형태를 제한하고, 그 결과를 부등식이나 다른 함수의 조건에 적용합니다. 미분 공식만 외워서는 조건을 연결하는 단계에서 시간이 걸릴 수 있습니다.

모두 객관식이지만 풀이의 근거까지 생략할 수 있는 구성은 아닙니다. 연속인지 판단할 때는 함숫값을, 미분가능성을 판단할 때는 좌우의 기울기를 구별해야 합니다. 각 조건으로 무엇이 확정되는지 짧게 적는 습관이 계산의 방향을 잡는 데 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 후반에 집중된 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 극한의 기본 계산, 그래프의 한쪽 극한, 연속 조건, 미분계수의 정의와 곱의 미분법 등을 확인합니다. 8·9번도 이 구간에 속하지만, 연속 조건과 함수의 값을 먼저 얻는 절차가 필요하므로 기계적으로 미분만 해서는 안 됩니다.

보통 문항은 6·7번과 10~13번, 15번입니다. 실근의 존재를 함수의 값의 범위로 해석하거나 접선 조건을 도형으로 연결하는 등 개념을 적용하는 과정이 추가됩니다. 특히 10번은 원래 함수가 아니라 접선의 기울기인 도함수의 최댓값과 최솟값을 비교해야 합니다.

14번에서 자동 분류 기준 어려움 문항이 나온 뒤 15번은 보통으로 돌아오고, 16~20번은 어려움으로 이어집니다. 어려움 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 후반에서는 계산에 앞서 조건을 해석하는 시간이 필요하므로 초반 문항을 정확하게 처리하는 연습이 중요합니다.

출제 단원 — 극한과 미분을 잇는 조건

함수의극한은 무한대에서의 차수 비교, 그래프 판독, 미정계수 결정, 대소 관계, 도형의 길이 비까지 폭넓게 출제되었습니다. 15·16번은 극한 단원으로 분류되어 있지만 미분계수의 정의를 활용하므로, 식의 겉모양보다 극한이 나타내는 의미를 찾아야 합니다.

미분계수와도함수는 접선의 기울기와 곱의 미분법에서 출발해 구간별 함수와 절댓값이 포함된 극한으로 이어집니다. 함수의연속에서도 12번은 합과 곱의 그래프를, 14번은 실근 개수를 함숫값으로 보는 관점을 요구합니다. 연속의 정의를 여러 표현에 적용하는 연습이 필요합니다.

도함수의활용은 롤의 정리와 평균값 정리, 기울기의 범위, 접선으로 둘러싸인 도형, 두 함수의 관계를 다룹니다. 단원별 공식 암기 뒤에는 조건을 함수의 값과 미분계수로 나누어 적어 보세요. 같은 접선 관련 문제라도 접점을 찾는 경우와 두 함수의 차를 만드는 경우는 출발이 다릅니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 전 문항 객관식으로 바뀐 구성

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 작년에는 17·18·19번이 서술·단답형이었으나 올해는 모두 객관식입니다. 자동 분류 기준 쉬움은 줄고 보통과 어려움은 늘었으므로, 서술형이 없다는 이유만으로 풀이 부담이 작아졌다고 보기는 어렵습니다.

함수의극한과 미분계수와도함수는 각각 5문항에서 6문항으로 늘었고, 도함수의활용은 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 함수의연속은 4문항으로 같습니다. 작년의 자동 분류 기준 어려움 문항은 11·13·15·16·19번이며, 올해는 14·16·17·18·19·20번으로 후반에 더 이어집니다.

다음 시험을 준비할 때는 객관식 형식에 맞춘 속도 연습과 조건을 쓰는 연습을 함께 하세요. 극한을 미분계수로 바꾸는 과정, 경계에서 연속과 미분가능성을 구별하는 과정을 먼저 정리하고, 이후 여러 조건을 결합한 문제로 확장하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 변환하는 단계가 많은 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 먼저 얻은 조건을 다음 단계의 표현에 다시 사용하므로, 조건마다 도출한 사실을 남겨 두는 습관이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근이 분명한 기본형을 먼저 처리하세요. 6·7번의 해석이 길어지면 표시한 뒤 8·9번을 확인하고, 14번에서 막혀도 15번을 살펴보세요. 후반 문제에 사용할 시간을 남기려면 단순 계산을 빠르게 하는 것과 함께, 풀이 방향이 정해지지 않은 문제를 잠시 넘기는 연습이 필요합니다.

조건 검토에서는 극한값과 함숫값, 연속과 미분가능성을 구별하세요. 8번은 연속 조건을 먼저 확인하고 12번은 합과 곱을 각각 판단해야 합니다. 17번은 구간별 식이 바뀌는 경계를 빠뜨리지 말고, 그래프가 이어진다는 사실과 접선 기울기의 일치를 별도로 검사하세요.

마지막에는 긴 계산을 처음부터 반복하기보다 풀이의 전제를 확인하세요. 6번의 열린구간, 10번의 비교 대상, 16번의 부호, 18번의 전체 실수 조건이 대표적입니다. 19번은 점이 움직일 때 각이 어떻게 변하는지, 20번은 중근 조건을 어느 함수에 적용했는지 확인하면 잘못된 출발을 찾아낼 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 정리부터 확인하세요. 무한대에서는 차수를 맞추고 그래프에서는 접근 방향을 표시하는 연습을 하세요(1·2·13번 대비).
2. 연속의 정의를 좌극한·우극한·함숫값으로 나누어 적으세요. 함수의 합과 곱에서도 각각 같은 검사를 수행하세요(3·12·14번 대비).
3. 미분계수의 정의를 변형된 증가량과 이동된 입력에 적용하세요. 극한의 존재로 함수의 값을 먼저 얻는 절차도 익히세요(4·9·15번 대비).
4. 경계에서의 미분가능성을 연속 확인과 좌우미분계수 비교로 정리하세요. 대소 조건에 따라 식이 바뀌는 유형과 절댓값 극한으로 확장하세요(8·17·18번 대비).
5. 접선과 도함수의 의미를 그래프로 설명해 보세요. 평균변화율, 기울기의 범위, 외부 점에서 그은 접선을 구별하세요(5·7·10·11번 대비).
6. 여러 조건을 하나의 표현으로 모으는 연습을 하세요. 관계식은 미분계수로, 도형의 비는 각으로, 두 함수의 관계는 차로 옮겨 보세요(6·16·19·20번 대비).