곡정고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

곡정고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

곡정고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한 계산뿐 아니라 연속의 정의와 미분계수의 의미를 함께 점검하는 구성입니다.

초반에는 평균변화율, 극한의 대소 관계, 연속인 구간, 평균값 정리 같은 기본 개념을 다룹니다. 이후 함수의 관계식에서 도함수를 얻거나 접선의 개수를 방정식의 실근 개수로 바꾸는 등, 문제를 익숙한 수학적 형태로 옮기는 과정이 필요합니다.

후반 번호라고 모두 계산이 복잡한 것은 아닙니다. 15·16번은 자동 분류 기준 쉬움이지만 연속과 미분가능성을 구별하고 구간 끝점을 확인해야 합니다. 서술형 18번도 공식 암기만으로 마무리하지 말고 정의를 이용한 전개와 극한을 분리할 근거를 적는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간과 마지막에 분산된 조건 해석

쉬움 문항은 초반 1~6번에 이어 15·16·18번에도 있습니다. 기본 미분 계산뿐 아니라 정의역, 절댓값의 부호, 연속의 판정처럼 개념을 정확하게 적용하는 것이 중요합니다. 특히 뒤쪽의 쉬움 문항을 살펴보기 전에 앞선 어려움 문항에 시간을 모두 쓰지 않도록 하세요.

보통 구간에서는 접점 설정, 조각함수의 연결 조건, 변형된 차분몫, 그래프의 기울기 해석이 등장합니다. 계산을 시작하기 전에 무엇을 미지수로 둘지, 어떤 극한이 같은 미분계수로 연결되는지 정리하면 풀이를 짧게 만들 수 있습니다.

어려움은 8·12번과 19·20번에 나뉘어 있습니다. 함수 관계식을 미분의 정의로 바꾸거나 도형을 좌표식으로 표현하는 첫 단계가 부담이 될 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 같다고 단정할 수 없으며, 준비할 때는 번호보다 필요한 사고 과정을 기준으로 묶어 보세요.

출제 단원 — 미분의 정의가 계산과 논증을 연결

가장 많은 미분계수와도함수는 평균변화율의 극한에서 시작해 관계식의 활용과 공식의 유도까지 다룹니다. 8·13번은 식에 미분 기호가 직접 보이지 않아도 차분몫을 찾아내야 합니다. 9·15번은 연속을 먼저 확인한 뒤 좌우 미분계수를 비교해야 하므로 개념 사이의 관계도 함께 정리하세요.

함수의극한은 대소 관계와 좌우극한 외에 극한으로 정의된 함수의 최댓값, 도형 조건의 식 세우기로 확장됩니다. 함수의연속은 단순한 그래프 판독에 머무르지 않고 함수의 곱과 몫, 정수 부분을 포함한 함수, 합성함수로 이어집니다. 겉모양이 달라도 접근 방향과 함숫값을 분리해 확인하는 원칙은 같습니다.

도함수의활용에서는 평균값 정리, 접선의 방정식, 그래프에서 읽는 기울기, 접선의 개수가 등장합니다. 접점을 미지수로 두는 방법을 익히고, 곡선 밖의 점과 접점을 구별하세요. 7번의 접선 구성 과정을 12번의 개수 판단으로 확장해 연습하면 단원 안의 연결을 이해하기 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 감소하고 접선 활용은 확대

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 늘고 어려움은 줄었습니다. 작년에는 어려움이 중후반에 이어지는 배치였지만 올해는 8·12번에서 먼저 등장하고 마지막에도 남아 있어, 번호순으로 난도가 높아진다고 가정하기 어렵습니다.

미분계수와도함수는 양쪽 모두 8문항이고 함수의연속도 4문항으로 같습니다. 함수의극한은 작년 6문항에서 올해 4문항으로 줄고 도함수의활용은 2문항에서 4문항으로 늘었습니다. 따라서 극한 계산을 복습하면서 접선과 기울기 해석도 충분히 연습할 필요가 있습니다.

서술·단답형은 작년 18·19·20번에서 올해 18·19번으로 바뀌었으며, 올해 20번은 객관식입니다. 형식과 별개로 끝부분의 조건 해석은 중요합니다. 다음 시험을 준비할 때는 앞선 계산 유형을 익힌 뒤, 정의를 설명하는 풀이와 여러 조건을 식으로 연결하는 풀이를 함께 작성해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 표현하는 단계가 먼저이고 계산은 그 뒤입니다. 연습할 때 첫 식을 세운 이유를 말로 설명하고, 마지막에는 사용한 정의나 정리의 가정이 충족되는지 되짚어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 안정적으로 처리한 뒤 전체 문항을 살펴보세요. 8번이나 12번에서 출발식이 떠오르지 않으면 표시하고 진행하며, 15·16·18번처럼 뒤에 있는 기본 개념 문제도 확인하세요. 제한 시간 안에서 푸는 연습 때는 계산 시간과 조건을 해석하는 시간을 구분해 기록하면 보완할 지점이 드러납니다.

서술형 18번은 공식의 결과만 쓰지 말고 차분몫의 분해와 연속성을 사용하는 대목을 남기세요. 19번은 좌표 설정에서 직선식, 교점, 극한 순서로 풀이를 나누면 검토하기 쉽습니다. 식이 길어져도 각 기호가 무엇을 뜻하는지 유지하고, 도형에서 얻은 양수 조건을 중간에 잊지 않도록 하세요.

마지막 검토에서는 약분에서 제외된 지점과 구간 끝점을 우선 확인하세요. 10·15번은 약분 뒤의 식과 원래 함수의 정의를 구별해야 하고, 3·16번은 끝점의 한쪽 극한을 보아야 합니다. 17번의 음의 무한대와 근호의 부호, 20번의 합성함수 연속 조건도 계산을 반복하기 전에 다시 읽어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균변화율과 미분계수의 정의를 연결하세요. 변화량이 달라질 때 분모와 함수 입력을 맞추는 연습부터 시작하세요(1·13번 대비).
2. 극한의 대소 관계와 절댓값의 좌우 처리를 복습하세요. 무한대로 가는 변수의 부호를 근호 정리에 반영하는 연습도 하세요(2·4·17번 대비).
3. 연속과 미분가능성을 순서대로 판정하세요. 정의역과 함숫값, 좌우극한, 좌우 미분계수를 구별해 정리하세요(3·9·15·16번 대비).
4. 함수 관계식은 특수한 입력 대입과 차분몫 변형으로 접근하세요. 약분할 수 없는 지점은 연속성으로 따로 확인하세요(6·8·10번 대비).
5. 평균값 정리와 접선의 방정식을 묶어 연습하세요. 접점을 변수로 놓고 접선의 개수를 실근 개수와 연결하며 그래프의 기울기도 비교하세요(5·7·11·12번 대비).
6. 결합된 함수의 좌우극한을 따로 계산하세요. 곱·몫·합성에서 연속성이 어떻게 달라지는지 확인한 뒤 정리의 가정을 점검하세요(14·20번 대비).
7. 서술형은 출발 근거가 드러나도록 작성하세요. 미분 공식의 유도와 도형의 좌표 설정을 단계별로 설명하고 불필요한 전개를 줄이세요(18·19번 대비).