화홍고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

화홍고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

화홍고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한 계산과 연속의 의미를 바탕으로 미분계수의 정의와 기하적 해석까지 연결합니다.

초반에는 인수분해로 극한을 구하거나 평균변화율과 미분 공식을 적용하는 문항이 있습니다. 그러나 계산에 들어가기 전에 조건을 정리해야 하는 문제도 함께 나옵니다. 분모가 사라질 때 분자가 어떻게 되어야 하는지, 미분가능성을 논할 때 연속성이 확보되는지부터 확인해야 합니다.

후반의 부담은 계산량보다 표현을 바꾸는 데 있습니다. 그래프에서 읽은 기울기를 부등식으로 옮기고, 함수의 항등식에서 차분몫을 만들며, 교점 개수를 새로운 함수로 해석해야 합니다. 기본형을 안정적으로 처리한 뒤 조건을 식으로 바꾸는 시간을 충분히 확보하는 전략이 적합합니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 연결에 집중

쉬움 문항은 초반뿐 아니라 11·13번에도 있습니다. 11번은 극한식을 미분계수의 정의로 바꾸는 과정, 13번은 조각함수의 연속 조건과 기울기 조건을 함께 쓰는 과정이 중요합니다. 자동 분류 기준 쉬움이라고 해도 조건 확인 없이 공식만 적용하면 실수가 생길 수 있습니다.

보통 문항에서는 접근법의 선택이 필요합니다. 7번은 발산하는 함수 사이의 비율, 9번은 다항식의 차수와 인수 조건, 12번은 부등식으로 극한을 제한하는 방법을 사용합니다. 16번은 도형 정보를 좌표와 직선의 절편으로 옮긴 뒤 극한을 구하므로, 식을 세우는 단계와 식을 정리하는 단계를 구별해야 합니다.

어려움으로 분류된 후반 문항은 그래프 판단과 미분의 정의 활용으로 나뉩니다. 14·15·20번은 그래프를 읽는 기준이 필요하고, 17·18번은 주어진 등식을 미분 정보로 바꾸어야 합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 응시자의 체감 난도를 직접 나타내는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 미분계수와도함수가 중심

미분계수와도함수는 단순한 다항함수 미분에서 항등식 활용까지 폭이 넓습니다. 2번의 평균변화율, 11번의 미분계수 정의, 19번의 접선 기울기를 별개 공식으로 외우기보다 변화량의 비라는 공통 의미로 묶어 보세요. 17·18번에서는 그 의미를 새로운 식 안에서 찾아내는 능력이 필요합니다.

함수의극한에서는 인수분해, 치환, 무한대에서의 비율, 대소 관계, 유리화가 고르게 쓰입니다. 분류상 어려움 문항은 없지만 미분 문제의 출발점이 되는 도구가 이 단원에 모여 있습니다. 특히 8번의 입력 변화와 16번의 근호 정리는 풀이 중 변수가 무엇에 가까워지는지 계속 추적해야 합니다.

함수의연속과 도함수의활용은 문항 수에 비해 해석의 연결이 뚜렷합니다. 3번은 연속함수의 실근 존재와 구간을, 10번은 중복된 인수와 미분 조건을 다룹니다. 15번은 기울기 비교, 20번은 불연속을 없애는 곱함수 조건으로 확장되므로 단원 이름만 보고 준비 범위를 좁히지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 다른 표현으로 바꾸는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 계산 전에 존재 조건이나 구간 구분을 적어 두는 것이 중요하며, 그 준비가 되어야 이후의 대수 계산이 의미를 갖습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 익숙한 조건 변환이 보이는 문제를 먼저 처리하세요. 14·15번의 그래프 판단에서 오래 머문다면 표시하고 16번과 19번을 살펴보세요. 후반 문항이 모두 같은 부담을 갖는 것은 아니므로 전체를 확인한 뒤 그래프 해석과 항등식 문제에 남은 시간을 배분하는 연습이 필요합니다.

19번은 서술·단답형이므로 답을 얻는 계산 외에 근거를 적을 시간을 남기세요. 접선의 기울기, 수직인 직선의 기울기, 주어진 점을 지난다는 조건이 순서대로 드러나야 합니다. 연습할 때는 계산이 끝난 풀이를 다시 베끼기보다 처음부터 필요한 관계식을 짧고 명확하게 쓰는 습관을 들이세요.

검토할 때는 3번의 열린구간, 11번의 변화량 배율, 12번의 제곱 전 부호, 13·19번의 부호 제한을 확인하세요. 14번은 극한의 존재를 확인한 뒤 연산했는지, 18번은 함수값 관계와 도함숫값 관계를 섞지 않았는지 점검해야 합니다. 20번은 경계에서의 함수값을 좌우 구간과 별도로 확인하는 것이 핵심입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해·치환·유리화를 이용한 극한을 먼저 정리하세요. 약분 전 제외한 지점과 치환 후 접근점을 표시하며 풀이하세요(1·8·16번 대비).
2. 무한대에서의 비율과 극한의 대소 관계를 연습하세요. 기준으로 나눌 함수를 고르고 부등식을 변형하기 전 부호를 확인하세요(7·9·12번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수의 정의를 함께 복습하세요. 입력 변화량과 분모를 맞추는 과정을 직접 써 보고 곱의 미분법 계산으로 연결하세요(2·4·5·11번 대비).
4. 연속과 미분가능성의 조건을 구별하세요. 실근 존재는 구간 조건과 함께 확인하고, 조각함수는 함수값과 좌우 기울기를 나누어 정리하세요(3·6·13·14번 대비).
5. 항등식에서 함수값을 얻는 대입과 도함수 관계를 얻는 과정을 이어 연습하세요. 중복 인수, 차분몫 구성, 곱의 미분을 각각 적용할 때를 구별하세요(10·17·18번 대비).
6. 기울기와 교점 개수의 그래프 해석을 연습하세요. 할선·접선·수직인 직선을 구별하고 수평선의 높이가 경계를 지날 때를 별도로 확인하세요(15·19·20번 대비).