개포고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

개포고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 계산에서 출발해 그래프의 연속성과 접선, 다항함수의 조건 결정까지 이어집니다.

계산 도구를 아는 것과 사용할 조건을 확인하는 일이 함께 요구됩니다. 무리식에서는 유리화와 부호 판단을, 합성함수에서는 안쪽 함수의 접근 방향을 먼저 살펴야 합니다. 항등식이나 부등식으로 주어진 조건은 함수의 값과 미분계수에 관한 정보로 바꾸어 읽어야 합니다.

문항 형식도 순서대로 확인하세요. 서술·단답형 뒤에 객관식이 다시 배치되어 있어 마지막 번호만 보고 풀이 부담을 판단하기 어렵습니다. 보통 문항의 계산을 안정적으로 마친 뒤, 조건을 여러 단계로 연결하는 문항에 시간을 남기는 운영이 알맞습니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움으로 분류된 문항은 없습니다. 보통 구간에서도 1번의 최솟값 존재 여부, 3번의 미분계수 형태 변환, 8번의 합성함수 접근 방향처럼 계산 이전의 판단이 필요합니다. 기본 공식만 반복하기보다 각 공식을 적용하는 조건까지 말로 설명해 보세요.

7·9번에서 어려움 문항이 나타난 뒤 8·10번은 보통으로 돌아옵니다. 11~16번에는 정수 조건, 도형의 개수, 합성함수의 불연속, 항등식의 인수 구조가 이어집니다. 앞 문항에서 막혔을 때 다음 문항의 출발점을 확인하는 습관이 필요합니다.

서술·단답형은 17~19번이 보통이고 20번이 어려움입니다. 21번 뒤의 22·23번도 보통이므로 후반을 통째로 미루지 마세요. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 난도 순위를 뜻하지 않습니다.

출제 단원 — 극한과 미분계수의 연결

함수의극한은 무한대에서의 식 정리, 다항함수 결정, 그래프를 이용한 합성함수 극한까지 폭이 넓습니다. 4·17번처럼 유리화가 중심인 유형과 8·22번처럼 그래프의 어느 쪽을 읽을지 결정하는 유형을 나누어 연습하면 취약점을 찾기 쉽습니다.

미분계수와도함수는 공식 계산에만 머물지 않습니다. 14번은 미분계수를 접선의 기울기와 연결하고, 16·21번은 함수 사이의 항등식에서 새로운 관계를 얻습니다. 23번도 도함수가 포함된 식의 차수와 계수를 검토하므로, 미분 이후 무엇을 비교할지까지 준비해야 합니다.

함수의연속에서는 7·12·13·20번이 어려움으로 분류되어 있습니다. 연속 조건을 세우기 전에 정의역과 경계점을 정리해야 하는 비중이 큽니다. 도함수의활용으로 분류된 19번은 접선과 곡선의 재교점을 다루므로, 접선의 방정식과 중근 해석을 함께 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산을 마친 뒤 원래 함수의 성질로 되돌아가야 한다는 것입니다. 후보 지점이나 인수 형태를 얻었으면 처음 주어진 연속·미분가능 조건을 다시 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 풀이 방법이 보이는 문항부터 확보하세요. 7·9번에서 조건 검토가 길어지면 표시하고 8·10번으로 이동할 수 있습니다. 11~16번에서 시간을 많이 썼더라도 17~19번과 22·23번을 확인할 여유를 남겨 두세요. 실제 제한 시간은 자료에 없으므로 임의의 분 단위 배분보다 연습 중 정체되는 단계를 기록하는 편이 유용합니다.

서술·단답형에서는 첫 식의 근거를 남기세요. 17번은 유리화 이후 거듭제곱과 차수를 정리하고, 양수 조건을 마지막까지 유지해야 합니다. 18번은 연속인 점과 미분가능한 점의 포함 관계, 19번은 접점이 중근이라는 사실이 출발점입니다. 20번은 절댓값을 취한 함수의 연속성을 묻는다는 점을 먼저 표시하세요.

마지막 검토는 긴 계산을 다시 하는 대신 조건 누락에 집중하세요. 4번은 음의 무한대에서의 근호 부호, 8번은 합성함수의 접근 방향, 11번은 서로 다른 정수라는 제한이 중요합니다. 14·16번은 나누는 식이 사라지는 경우를 배제할 근거가 있는지, 22번은 극한의 존재를 좌우에서 모두 확인했는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한식의 형태부터 분류하세요. 무한대에서 기준이 되는 식으로 나누는 연습과 무리식의 유리화를 묶고, 접근 방향에 따른 부호를 확인하세요(2·4·17번 대비).
2. 그래프에서 극한과 함숫값을 따로 읽으세요. 합성함수는 안쪽 입력이 어느 쪽에서 접근하는지 화살표로 표시한 뒤 바깥 그래프를 보세요(1·8·13·22번 대비).
3. 연속 조건을 연결점별로 정리하세요. 좌극한·우극한·함숫값을 비교하고, 역수나 절댓값이 포함되면 실제로 확인해야 할 함수를 구별하세요(7·12·20번 대비).
4. 미분계수의 정의를 다양한 극한식에서 찾아보세요. 증분의 크기와 부호를 맞춘 뒤 접선의 기울기 및 미분가능성과 연속성의 관계로 확장하세요(3·5·14·18·19번 대비).
5. 다항함수 결정 문제에서는 차수와 인수를 먼저 제한하세요. 극한 조건의 인수 중복도, 부등식의 대소 관계, 항등식의 계수 비교를 순서대로 정리하세요(6·9·15·16·21·23번 대비).
6. 조건으로 얻은 후보를 다시 거르는 연습을 하세요. 실근의 존재와 유일성, 정수 범위, 분모가 사라지는 예외를 계산 뒤에 반드시 대조하세요(10·11·14·16번 대비).