잠신고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

잠신고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 단원은 등차등비수열, 삼각함수활용, 삼각함수그래프, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 삼각형의 변과 각을 연결하는 법칙부터 수열의 일반항·합·귀납적 정의까지 다룹니다.

초반에는 등차중항과 등비수열의 일반항, 사인법칙처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 나옵니다. 이후 그래프에서 계수를 읽거나 합의 식을 변형하고, 도형 조건을 수열로 표현하는 단계로 확장됩니다. 단원별 공식과 함께 그 공식을 적용할 수 있는 형태를 만드는 연습이 필요합니다.

중후반에는 그래프의 교점과 주기, 원에 내접한 사각형의 넓이, 조건에 따라 달라지는 점화식이 등장합니다. 서술·단답형에서도 주기와 대칭, 항의 부호, 이웃한 합의 차를 이용합니다. 계산을 시작하기 전에 어떤 관계를 먼저 확보할지 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 중간에 등장하는 고난도와 후반 기본형

쉬움 문항은 1·2·3·21번입니다. 초반의 수열과 사인법칙을 정확히 처리한 뒤, 서술·단답형의 귀납법 증명도 확인하세요. 21번은 자동 분류 기준 쉬움이지만 최초 단계 확인과 귀납 가정, 다음 단계 유도라는 논리 순서를 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

보통 문항은 4~7번, 9~11번, 13·14번에 분포합니다. 등차수열의 합, 그래프의 계수, 소거되는 합, 삼각형의 넓이 등 기본 개념을 변형된 표현에 적용합니다. 8번이나 12번에서 막혀도 바로 뒤의 문항까지 함께 보류하지 않는 운영이 필요합니다.

어려움 문항은 객관식 후반과 서술·단답형에 걸쳐 있습니다. 특히 15~20번은 연속해서 어려움으로 분류됩니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 각 문제에서 조건을 정리하는 단계가 길어질 수 있으므로, 첫 접근이 보이지 않으면 표시하고 다른 문항을 확인하세요.

출제 단원 — 수열의 기본기와 삼각함수의 연결

등차등비수열은 기본 중항부터 좌표평면의 점 이동과 부분합의 최솟값까지 폭이 넓습니다. 14번은 직선 위 이동의 방향과 간격을 좌표 수열의 공차로 바꾸고, 19번은 항의 부호가 바뀌는 위치로 합의 감소와 증가를 판단합니다. 일반항과 합을 별개 공식으로만 외우지 마세요.

삼각함수그래프는 주기와 교점 개수, 반복되는 함숫값과 부분합을 함께 다룹니다. 6번의 그래프 읽기를 익힌 뒤 8·11번의 교점, 12번의 부분합, 18번의 대칭으로 이어 가세요. 삼각함수활용에서는 사인법칙과 코사인법칙 외에도 같은 밑변을 가진 삼각형의 넓이 관계가 중요합니다.

수열의합과 수학적귀납법은 식을 전개하기 전에 구조를 찾는 연습이 필요합니다. 7번은 합들을 결합해 인수분해하고, 10번은 이웃한 항의 차로 바꿉니다. 17·20번의 귀납적 정의와 21번의 귀납법 증명은 접근법이 다르므로, 단원 이름만 보고 같은 풀이를 적용하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 서술·단답형의 배치가 변화

작년과 올해는 모두 수학I입니다. 자동 분류 기준 어려움은 각각 9문항으로 같고 쉬움도 각각 4문항입니다. 총 문항이 23문항에서 22문항으로 줄어 어려움의 비중은 소폭 커졌지만, 이 수치만으로 실제 시험이 더 어려워졌다고 단정할 수는 없습니다.

등차등비수열은 8문항에서 6문항, 수학적귀납법은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 삼각함수활용은 2문항에서 5문항, 수열의합은 2문항에서 3문항으로 늘었고 삼각함수그래프는 각각 5문항입니다. 등차등비수열이 가장 많다는 점을 유지하면서도 도형 활용의 연습을 보강할 필요가 있습니다.

작년 서술·단답형 20~23번 중 어려움은 23번이었지만, 올해 18~22번에서는 18·19·20·22번이 해당합니다. 객관식에서도 작년에는 10번에서 어려움이 시작됐고 올해는 8번에서 시작됩니다. 서술·단답형을 마지막에 몰아 두기보다 기본 증명과 복합 조건 문항을 구별해 접근하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 다른 표현으로 옮긴 뒤 그 변환이 성립하는 근거를 확인해야 합니다. 반복, 넓이비, 구간 분류 중 무엇을 먼저 정리해야 하는지 풀이 시작 전에 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 접근 가능한 문항을 확보하고 8번에서 교점 나열이 길어지면 표시한 뒤 넘어가세요. 12번에서도 부분합 정리가 막히면 뒤의 13·14번을 확인하세요. 서술·단답형의 21번을 먼저 살펴볼 수 있도록 전체 문제를 훑는 연습이 필요합니다.

삼각함수 문제는 주기뿐 아니라 정의되지 않는 위치와 구간 끝점의 포함 여부를 표시하세요. 8번은 탄젠트의 정의역, 11·18번은 근을 세는 구간이 중요합니다. 12번에서는 함숫값과 부분합을 구분하고, 18번에서는 근을 직접 모두 구하기 전에 대칭으로 짝지을 수 있는지 확인하세요.

수열 문제는 첨자와 부호를 중심으로 검토하세요. 2번의 반동 횟수, 10번의 소거 뒤 남는 항, 19번의 음수 항에서 양수 항으로 바뀌는 위치가 대표적입니다. 20번은 최초 항 확인, 21번은 귀납 가정의 사용 지점을 남겨 두고 마지막 검토에서 논리의 빈틈을 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 중항과 일반항, 항 사이의 간격을 복습하세요. 말로 주어진 반복 상황을 수열로 나타내고 첫째항의 의미를 설명하세요(1·2·4·5번 대비).
2. 그래프에서 진폭·중심선·주기를 읽은 뒤 지나는 점으로 계수를 정하세요. 이후 교점 개수와 교점 좌표의 나열로 확장하세요(6·8·11·18번 대비).
3. 합의 식을 변형해 계산을 줄이세요. 합을 결합하는 방법, 이웃한 항의 차로 소거하는 방법, 한 주기 합을 확인하는 방법을 구별하세요(7·10·12번 대비).
4. 삼각형의 넓이를 여러 방식으로 나타내세요. 사인법칙과 코사인법칙을 적용할 변과 각을 표시하고 높이비·넓이비를 변의 비로 옮겨 보세요(3·9·13·15·22번 대비).
5. 좌표와 이동거리를 수열로 표현하세요. 직선 위에서는 이동 방향과 공차, 닫힌 경로에서는 누적 거리와 둘레의 관계를 먼저 정하세요(14·16번 대비).
6. 귀납적 정의와 부분합 조건을 함께 연습하세요. 구간별 초기 항 검토, 이웃한 식의 차, 항의 부호 변화라는 출발점을 구별하세요(17·19·20번 대비).
7. 수학적 귀납법 증명을 직접 써 보세요. 최초 단계와 귀납 가정, 다음 항을 더하는 과정, 결론을 빠짐없이 연결하세요(21번 대비).