보성고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

보성고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법, 삼각함수활용입니다. 수열의 일반항과 합을 다루는 기본형에 점화식과 삼각형의 계량이 함께 포함되어 있습니다.

초반은 공차와 공비, 등차중항, 합의 성질처럼 개념을 바로 적용하는 문항입니다. 이후에는 문장 속 분배 상황을 수열로 표현하거나, 적립 시점에 맞게 복리 기간을 정하고, 합의 조건에서 일반항을 복원해야 합니다. 공식을 아는 것과 조건에 맞게 식을 세우는 것을 구별해 연습할 필요가 있습니다.

후반은 정수 조건을 약수 조건으로 바꾸거나 도형의 넓이 비를 변의 비로 옮기는 등 표현을 전환하는 부담이 큽니다. 수학적귀납법 단원에도 직접 항을 계산하는 문제와 증명의 합 범위를 비교하는 문제가 함께 있으므로, 단원 이름만으로 풀이 방식을 정하지 마세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 분류

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~5번과 15~17번입니다. 객관식의 앞부분뿐 아니라 서술·단답형에도 기본형이 있으므로, 앞에서 막힌 문제를 붙잡느라 확인 가능한 문항을 남기지 않는 운영이 좋습니다. 특히 5번은 합에서 일반항을 구하되 첫째항을 따로 다루어야 합니다.

보통 구간은 6~10번과 12·13·18번입니다. 부분분수, 합의 차, 사인법칙 등 익숙한 도구를 사용하지만 그 도구를 적용할 형태로 바꾸는 과정이 필요합니다. 18번처럼 좌표도형에서 기울기의 관계를 얻은 뒤 수열의 합으로 넘어가는 문제도 있습니다.

어려움은 11·14번과 19~22번입니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 후반에서는 경우를 빠짐없이 나누고 각 경우의 허용 조건을 검사하는 시간이 필요하므로, 기본형 풀이 속도를 확보한 뒤 검토 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 등차등비수열 중심의 연결

등차등비수열은 일반항 계산부터 원리합계, 부분합 조건, 정수 항의 제약, 합의 절댓값까지 폭이 넓습니다. 12번은 등비수열의 합을 바로 나누기 전에 영이 되는 경우를 살펴야 하고, 14번은 등차수열의 항 사이 관계에 등비중항과 정수 조건을 결합합니다.

수열의합에서는 합을 계산하는 기술과 합에서 항을 복원하는 기술이 모두 필요합니다. 7번의 부분분수 소거는 18번의 도형 결합형으로 이어지고, 9번은 합 안의 식을 하나의 수열로 보아 차를 구하는 접근이 유효합니다. 소거 뒤 남는 처음과 마지막 항을 적는 습관을 들이세요.

수학적귀납법에서는 점화식 계산과 증명 구조를 나누어 준비하세요. 삼각함수활용은 17번의 코사인법칙 기본형에서 11번의 외접원, 20번의 원에 내접하는 사각형으로 확장됩니다. 공식마다 어느 삼각형의 어떤 변과 각을 대응시키는지 표시하는 연습이 도움이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 전체 분포와 고난도 단원의 변화

작년과 올해는 모두 수학I입니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 6문항에서 8문항으로 늘었고, 어려움은 7문항에서 6문항으로 줄었습니다. 보통과 서술·단답 문항 수는 같습니다. 다만 분류별 개수의 변화만으로 실제 시험이 얼마나 쉬워졌는지 판단할 수는 없습니다.

등차등비수열은 7문항에서 9문항으로 늘고 수열의합은 6문항에서 5문항으로 줄었습니다. 수학적귀납법과 삼각함수활용은 각각 4문항으로 같습니다. 작년의 어려움은 9·13·14·15·19·20·21번이었고, 올해는 11·14번 이후 19~22번에 이어집니다.

작년에는 수열의합의 20·21번이 어려움에 포함되었지만 올해 수열의합에는 어려움 분류가 없습니다. 대신 수학적귀납법의 19·21번과 등차등비수열의 22번을 대비해 증명의 항 변화, 점화식의 반복과 부호, 부분합의 범위 분류를 보완하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건을 연결하고 경우를 나누는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전 분류 기준을 정하는 일이 중요합니다. 풀이가 길어지면 식을 더 전개하기 전에 아직 사용하지 않은 조건이 무엇인지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번과 15~17번처럼 출발점이 분명한 문항을 먼저 확인하세요. 11·14번에서 접근이 막히면 표시하고 다음 문항으로 넘어가세요. 뒤쪽에도 기본형이 있으므로 번호 순서대로 모든 풀이를 끝내겠다는 운영보다 전체 문항을 살펴보는 연습이 필요합니다.

조건을 짧게 적는 데 시간을 쓰면 재계산을 줄일 수 있습니다. 8번은 납입 시점과 이자 적용 기간, 12번은 나누려는 합이 영인지 여부, 14번은 정수 조건과 양의 공차를 표시하세요. 18번은 도형에서 기울기 제곱의 관계를 얻는 단계와 소거합을 계산하는 단계를 나누어 정리하세요.

마지막에는 계산 결과보다 조건 누락을 먼저 검토하세요. 19번은 합의 양 끝 변화, 20번은 각과 대변의 대응, 21번은 분모와 초기항 범위, 22번은 모든 자연수에 대한 검사가 끝났는지 확인해야 합니다. 객관식인 20·21번과 서술·단답형인 22번의 답안 형식도 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 항 관계와 합 공식을 복습하세요. 첫째항을 따로 처리하고 문장 조건을 항 번호로 옮기는 연습부터 시작하세요(1·2·4·5·6번 대비).
2. 시그마의 성질과 부분합의 차를 묶어 연습하세요. 합 안의 식을 보조 수열로 두는 방법과 상수항의 합을 확인하세요(3·9·16번 대비).
3. 부분분수 소거를 연습하고 남는 항을 직접 표시하세요. 이후 좌표도형에서 항의 관계를 유도하는 문제로 확장하세요(7·18번 대비).
4. 등비수열의 응용에서는 적립 시점과 영인 합의 예외를 먼저 점검하세요. 정수 조건이 추가되면 서로소 관계와 약수 조건으로 바꾸어 보세요(8·12·14번 대비).
5. 사인법칙과 코사인법칙의 적용 대상을 그림에 표시하세요. 변의 비, 외접원, 공유 밑변의 넓이 비를 연결하는 순서로 연습하세요(11·13·17·20번 대비).
6. 점화식은 직접 계산과 반복 구조 탐색을 구별하고 귀납법은 단계 사이 항의 변화를 적어 보세요. 절댓값은 부호별로, 모든 자연수 조건은 경계 항까지 확인하세요(10·15·19·21·22번 대비).