보성고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

보성고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선과 평균값 정리를 포함한 도함수의 활용입니다. 단순히 다항식을 미분하는 것에서 끝나지 않고, 극한 조건으로 함수를 정하거나 그래프의 변화 양상을 해석하는 내용까지 확인합니다.

시험의 성격은 기본 개념 확인과 복합 조건 해석이 함께 있는 구성입니다. 평균변화율, 다항함수의 극한, 미분법 공식처럼 풀이의 출발점이 분명한 문항이 있는 반면, 도형의 길이를 매개변수로 나타내거나 교점 개수를 새로운 함수로 보는 문항도 있습니다. 같은 단원 안에서도 필요한 사고 과정이 달라집니다.

서술·단답형이라고 모두 어려운 것은 아닙니다. 15~18번은 자동 분류 기준 쉬움이므로, 객관식 13·14번에서 막혔다고 후반 문항까지 어렵다고 판단하면 안 됩니다. 21번은 다시 객관식이며 22번은 서술·단답형입니다. 시험지를 먼저 훑어 형식과 해결 가능성을 함께 확인하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 문항을 확보하고 후반 조건 해석에 대비

쉬움 구간은 1~4번, 6·8번, 15~18번입니다. 그래프의 한쪽 극한 읽기, 접선의 방정식, 미분계수의 정의와 공식 등 기본기를 확인합니다. 다만 4번의 음의 무한대 방향, 6번의 증분 부호, 8번의 시간 단위처럼 계산을 시작하기 전에 확인해야 할 조건이 있습니다.

보통 구간인 5·7·9~12번은 조건을 식으로 번역하는 연습이 필요합니다. 연속성과 주기성으로 상수를 연결하거나 극한의 존재로 인수를 찾고, 항등식을 미분해 나머지를 정하는 방식입니다. 식을 무작정 전개하기보다 어떤 대입이나 인수 구성이 유리한지 먼저 살펴보세요.

어려움 구간인 13·14번은 기하적 상황을 좌표와 길이 관계로 정리하는 극한 문제입니다. 19~22번은 개수의 변화, 미분가능성, 접선의 수직 조건을 다룹니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며, 실제 풀이 부담은 도형 해석과 경우 구분에 얼마나 익숙한지에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 함수의 극한이 가장 많고 연속의 해석도 중요

함수의극한은 8문항으로 가장 많습니다. 그래프 읽기와 직접 대입부터 다항식 결정, 도형을 이용한 무리식 극한까지 폭이 넓습니다. 특히 9·11·12번은 분모가 사라질 때 분자도 함께 사라져야 한다는 조건을 활용합니다. 이를 인수분해와 연결하면 불필요한 계수 계산을 줄일 수 있습니다.

함수의연속은 문항 수만 볼 때보다 주의가 필요한 단원입니다. 5·7·17번의 연속 조건에서 출발해 19·20번에서는 개수를 함숫값으로 갖는 함수의 불연속을 판단합니다. 매개변수가 움직일 때 언제 개수가 바뀌는지 찾는 연습이 기본 연속 계산과 함께 필요합니다.

미분계수와도함수는 평균변화율, 정의에 따른 극한, 항등식의 미분, 구간별 함수의 미분가능성으로 이어집니다. 도함수의활용은 3·18번의 접선과 평균값 정리를 거쳐 22번에서 교점 조건과 결합됩니다. 단원 이름을 외우기보다 함숫값과 기울기 조건을 구별하는 것이 중요합니다.

문항별 정리

아래 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 문항의 요구와 접근 방법을 요약했으며, 원문의 구체적인 수치와 답의 값은 싣지 않았습니다.

작년 시험과 비교 — 어려움은 같고 기본 문항과 서술·단답이 증가

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항으로 같지만, 총 문항이 20문항에서 22문항으로 늘어 어려움의 비중은 낮아졌습니다. 쉬움은 1문항에서 10문항으로 늘고 보통은 13문항에서 6문항으로 줄었습니다. 기본기를 확인하는 구간이 넓어졌다고 볼 수 있으나, 이것만으로 실제 체감 난도를 단정할 수는 없습니다.

함수의극한은 작년 10문항에서 올해 8문항으로 줄었지만 여전히 가장 많습니다. 함수의연속은 5문항으로 같고, 미분계수와도함수는 4문항에서 6문항, 도함수의활용은 1문항에서 3문항으로 늘었습니다. 극한 위주로만 준비하기보다 미분과 접선까지 연결하는 연습의 비중을 높일 필요가 있습니다.

작년 어려움은 6·12·14·17·19·20번에 있었고 올해는 13·14·19·20·21·22번에 있습니다. 올해는 어려운 구간 사이에 기본 서술·단답형 15~18번이 있으므로 번호순으로만 풀지 않는 운영이 유효합니다. 서술·단답형이 늘어난 만큼 기본 계산도 근거를 짧게 적어 마무리하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 계산에 들어가기 전 조건을 바꾸어 읽는 과정이 중요합니다. 도형은 길이 관계로, 격자점은 거리의 집합으로, 곱함수는 경계별 조건으로 정리해야 풀이가 짧아집니다. 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 자료의 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 기본 계산과 정의 적용이 가능한 문항을 확보하세요. 13·14번에서 좌표 설정이나 길이 관계가 바로 보이지 않으면 표시하고 15~18번을 확인하는 방법이 좋습니다. 한 문제의 전개를 반복하기보다 아직 풀지 않은 기본 문항이 있는지 점검하세요.

19~22번에는 그래프를 그리거나 경우를 나누고 조건을 검증할 여유를 남겨야 합니다. 총 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 계획보다, 첫 풀이에서는 접근식을 세울 수 있는 문제를 처리하고 남은 시간에 고난도 문항을 다시 보는 방식으로 연습하세요. 서술·단답형도 핵심 관계를 기록한 뒤 계산하면 검토가 쉽습니다.

검산에서는 계산 결과보다 조건을 먼저 확인하세요. 4·6번의 부호, 7·17번의 경계 포함 여부, 18번의 열린구간, 19번의 교점 개수 변화, 20번의 거리 중복이 주요 점검 대상입니다. 21번에서는 연속 조건을 먼저 확인하고, 22번에서는 접선의 수직 조건과 교점 조건을 모두 사용했는지 되짚으세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한과 미분의 기본 계산부터 안정시키세요. 직접 대입, 한쪽 극한 읽기, 평균변화율과 도함수를 구별하는 연습을 합니다(1·2·3·8·15·16번 대비).
2. 부호와 정의를 확인하는 풀이를 연습하세요. 음의 무한대에서 근호를 정리하고 변형된 차분몫의 증분을 맞춰 쓰세요(4·6번 대비).
3. 극한 조건을 인수 조건으로 바꾸세요. 다항식의 차수와 인수를 먼저 정하고, 항등식을 미분하는 방법까지 연결하세요(5·9·10·11·12번 대비).
4. 구간별 함수의 경계를 표로 정리하세요. 내부 이음매와 반복 구간의 끝을 확인한 뒤 개수 함수의 그래프로 확장하세요(7·17·19번 대비).
5. 도형을 식으로 표현하는 연습을 하세요. 좌표축 설정, 원의 방정식, 평행 관계를 이용해 목표 길이를 정리한 뒤 유리화하세요(13·14번 대비).
6. 개수와 미분가능성의 경우 구분을 따로 훈련하세요. 격자점의 거리 중복을 제거하고, 곱함수의 경계별 연속과 좌우 미분계수를 확인하세요(20·21번 대비).
7. 접선과 평균값 정리를 종합 복습하세요. 구간 내부 조건, 접선의 기울기, 두 곡선의 교점 조건을 함께 적고 검산하세요(3·18·22번 대비).