보성고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

보성고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 등차등비수열, 수열의합, 삼각함수활용, 수학적귀납법입니다. 수열의 일반항과 합뿐 아니라 귀납적 정의를 해석하고 도형의 길이·넓이를 수식으로 나타내는 능력을 함께 확인합니다.

기본형에서는 공식에 맞는 항의 위치를 정하는 것이 중요합니다. 응용형에서는 연속된 항의 곱을 비교해 관계를 찾거나, 도형의 넓이를 수열로 만들어 합을 정리합니다. 계산량을 늘리기보다 어떤 항끼리 연결되는지, 어떤 항이 소거되는지를 먼저 보는 편이 효과적입니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 수열과 삼각함수 활용에 걸쳐 있습니다. 등차수열에 등비 조건과 정수 조건을 붙인 문제, 수선과 외접원을 연결한 문제, 도형의 조건을 항의 개수로 바꾼 문제가 대표적입니다. 익숙한 공식이라도 적용할 조건을 먼저 기록하는 학습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 조건 해석의 부담

1~5번은 자동 분류 기준 쉬움 구간입니다. 등차수열의 일반항, 부분분수에 의한 소거, 삼각형의 넓이, 점화식의 순차 대입 등 출발 방법이 비교적 분명합니다. 다만 3번은 소거 간격을 잘못 읽으면 남는 항이 달라지므로, 쉬움 분류라도 처음과 끝을 직접 써서 확인하세요.

보통 구간은 풀이 방법을 선택하는 과정이 추가됩니다. 7번은 누적 곱의 증가와 감소를, 8번은 음의 공비에 따른 홀짝을 살펴야 합니다. 12번에서는 부분합에서 일반항을 얻을 때 첫째항을 따로 확인해야 합니다. 공식을 외우는 것과 그 공식이 적용되는 범위를 이해하는 것의 차이가 드러납니다.

9번 뒤에 보통 문항이 다시 나오고, 서술·단답형에도 16~18번처럼 접근 가능한 문제가 있습니다. 어려운 문항에서 멈추면 뒤의 기본형을 놓칠 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인별 체감과 같다고 단정할 수 없지만, 후반의 조건 정리에 시간을 남기는 운영은 필요합니다.

출제 단원 — 수열의 구조와 도형 해석의 결합

가장 많은 등차등비수열은 일반항 계산에만 머물지 않습니다. 14번은 등차수열의 항이 등비수열을 이루는 조건을 식으로 바꾼 뒤 정수 조건을 적용하고, 15번은 사이에 수를 넣어 만든 집합의 원소와 포함 관계를 판단합니다. 항의 값뿐 아니라 항 번호가 만족해야 할 조건까지 살펴야 합니다.

수열의합에서는 합을 구하는 경로가 다양합니다. 3·11번은 소거되는 구조를, 12번은 부분합과 일반항의 관계를, 17번은 거듭제곱의 합을 활용합니다. 20·21번처럼 도형을 거쳐 수열을 정의한 경우에는 합 공식에 들어가기 전 길이의 중복이나 높이의 부호부터 정리해야 합니다.

삼각함수활용은 넓이 공식에서 사인법칙·코사인법칙과 외접원으로 확장됩니다. 수학적귀납법으로 분류된 문항은 점화식의 직접 계산, 도형의 규칙, 항 사이의 관계, 나머지 계산을 다룹니다. 이 단원은 귀납적 정의를 실제 항의 구조로 풀어 읽는 연습이 특히 중요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 변환의 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 문제에서 정의한 대상을 정확히 구분해야 합니다. 곱으로 만든 수열, 닮음인 삼각형의 외접원, 서로 다른 대각선 길이가 각각 무엇인지 적은 뒤 계산을 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 먼저 처리하고, 9번이나 객관식 후반에서 조건 정리가 길어지면 표시해 두세요. 16~18번은 각각 등차수열과 직각삼각형, 거듭제곱의 합, 외접원의 기본 관계로 출발할 수 있습니다. 서술·단답형을 마지막까지 미루기보다 풀이가 보이는 문항을 먼저 확보하는 연습이 좋습니다.

계산을 줄이는 지점을 찾는 데 시간을 쓰세요. 7번은 누적 곱을 모두 전개하기 전에 증가·감소를 판단하고, 10번은 뒤의 항이 배수가 되는 시점을 확인하세요. 11번은 넓이 합을 각각 계산하기보다 이웃한 항의 차로 묶을 수 있는지 살피면 반복 계산을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 8번의 홀짝과 엄격한 부등호, 12번의 첫째항 예외, 16번의 변의 양수 조건을 확인하세요. 19번은 닮음비를 제곱해야 하는 대상을 구별하고, 20번은 길이의 중복과 정수 구간의 끝점을 살펴야 합니다. 21번은 높이의 절댓값을 반영했는지 확인하는 것이 단순한 재계산보다 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 일반항과 합을 복습하세요. 항 번호의 간격으로 공차를 정하고, 음의 공비에서는 홀짝을 나누는 연습을 하세요(1·2·7·8번 대비).
2. 합을 구하기 전 소거 구조와 첫째항 예외를 확인하세요. 부분분수, 항 번호 이동, 부분합의 차를 각각 비교해 보세요(3·11·12번 대비).
3. 점화식의 앞 항을 써 보고 일반적인 구조를 찾으세요. 곱의 비교와 팩토리얼, 도형의 증가 규칙으로 확장하세요(5·6·9·10번 대비).
4. 등차수열에 등비 조건이나 집합 조건을 결합하세요. 정수 조건을 적고, 포함 관계는 실제 원소의 표현이나 반례로 검토하세요(14·15·16번 대비).
5. 삼각형의 넓이에서 사인법칙·코사인법칙과 외접원으로 연결하세요. 반원의 직각과 수선으로 생기는 닮음도 함께 표시하세요(4·13·18·19번 대비).
6. 도형을 수열로 바꾼 뒤 합을 계산하는 연습을 하세요. 길이의 중복, 부등호의 경계, 절댓값 처리를 끝낸 뒤 거듭제곱의 합을 적용하세요(17·20·21번 대비).