문정고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

문정고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

문정고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 자료에 등록된 문항 기준으로 삼각함수의 성질과 그래프, 사인법칙·코사인법칙의 활용, 등차·등비수열과 여러 가지 수열의 합, 귀납적 정의와 수학적 귀납법입니다.

삼각함수 영역은 각의 변환과 부호에서 시작해 주기, 방정식·부등식, 도형의 길이와 넓이로 이어집니다. 같은 삼각함수라도 그래프에서 구간을 읽는 능력과 도형에서 변·각의 관계를 세우는 능력이 따로 필요합니다. 공식별로 문제를 나누어 외우기보다 조건을 보고 사용할 도구를 고르는 연습이 중요합니다.

수열 영역은 합 공식만으로 끝나지 않습니다. 근호의 유리화, 항의 계수 재정리, 점화 관계의 곱, 절댓값에 따른 부호 구분 등으로 식을 바꿔야 합니다. 서술·단답형 앞부분의 16·17번은 자동 분류 기준 보통이므로, 뒤의 어려움 문항에 앞서 풀이 흐름을 확보할 구간입니다.

난이도 분포 — 객관식 후반과 마지막 서술형에 모인 어려움

난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 5번은 등차수열의 합 조건을 일반항으로 연결하는 문항입니다. 보통 구간에서는 2·3번의 주기 판단, 7번의 판별식과 삼각부등식 연결처럼 서로 다른 개념 사이를 옮기는 과정이 필요합니다. 보통이라는 표시를 짧은 계산 문제라는 뜻으로 받아들이면 안 됩니다.

객관식 12~14번은 귀납법 증명, 원에 내접한 사각형, 등비수열의 부분합 변형으로 풀이 방향이 계속 바뀝니다. 이 구간에서 막히면 뒤의 15~17번을 먼저 확인하세요. 서술·단답형 18~20번에는 양수 조건, 좌표도형의 해석, 절댓값 합의 구분이 이어져 조건을 정리할 여유를 남겨야 합니다.

출제 단원 — 수열의합이 최다, 그래프와 도형도 함께 대비

수열의합은 출제 비중뿐 아니라 접근 방식의 폭도 넓습니다. 6번은 유리화 후 소거, 10번은 같은 항의 계수 정리, 14번은 부분합의 역수 차, 15번은 정수해 개수에서 만든 수열, 19번은 좌표도형에서 얻은 관계를 합에 적용합니다. 합 기호가 보인다고 곧바로 공식부터 고르지 말고 일반항의 구조부터 살펴야 합니다.

삼각함수그래프는 자동 분류 기준 모두 보통이지만 주기·대칭·점근선과 해의 범위를 함께 확인합니다. 삼각함수활용에서는 넓이 조건, 내접원, 원에 내접한 사각형, 각의 이등분선이 각각 등장합니다. 등차등비수열은 기본 계산에서 절댓값과 양수 조건의 활용까지 이어지므로 단원 이름보다 조건의 복잡도를 기준으로 복습하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답은 줄고 어려움은 증가

작년과 올해는 같은 수학I 시험입니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 줄고 보통과 어려움은 늘었습니다. 전체 문항 수는 같고 서술·단답형은 줄었지만, 이 변화만으로 풀이 부담이 줄었다고 해석하기는 어렵습니다. 삼각함수그래프는 작년 2문항에서 올해 4문항으로 늘었고, 수열의합도 작년 4문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다.

작년의 어려움 문항은 13·14·17·19번이었고, 올해는 12·13·14·18·19·20번입니다. 올해는 객관식 후반과 마지막 서술·단답형에 어려움이 연속됩니다. 다음 시험 대비에서는 그래프 해석과 수열의 합 변형을 보강하고, 마지막 서술형에 도달했을 때 조건을 차분히 정리할 수 있도록 시간을 남기는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 풀이 구조를 살펴 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 관계를 표현할 방식을 선택해야 한다는 것입니다. 복습할 때에는 완성된 계산을 외우기보다 첫 식을 세운 이유와 마지막 조건 확인을 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~11번에서 풀이 방향이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 보통 문항이라도 4·8·9·10번처럼 변형 과정이 필요한 경우가 있으므로, 한 문항에서 같은 계산을 반복하면 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 12~14번을 반드시 연속해서 마쳐야 한다고 생각하지 말고 15~17번의 접근 가능성도 확인하세요.

서술·단답형을 풀 여유와 검토 시간을 미리 남겨 두세요. 16번은 교점과 범위, 17번은 적용한 삼각형을 표시하면서 풀면 과정을 다시 확인하기 쉽습니다. 18~20번에서는 양수 조건, 도형에서 얻은 관계, 공차의 부호처럼 풀이의 근거가 되는 조건을 계산 전에 적어 두는 방법이 유효합니다.

검토는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건을 점검하는 방식으로 진행하세요. 3번은 최소 양의 주기인지, 4번은 등호 조건이 변 위에서 가능한지, 9번은 공비의 제외 조건을 지켰는지 확인하세요. 15번의 음의 약수와 19번의 초기 항도 따로 살펴야 합니다. 이런 조건을 풀이 옆에 짧게 기록해 두면 검토할 지점을 찾기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 삼각함수의 각 변환과 그래프 성질부터 정리하세요. 부호·주기·대칭·점근선을 함께 확인하고 절댓값의 위치에 따른 차이를 설명해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 판별식 조건을 삼각부등식으로 바꾸고 그래프에서 해의 구간을 읽는 연습을 하세요. 교점의 대칭과 변환된 각의 범위도 함께 점검하세요(7·16번 대비).
3. 도형에 사용할 법칙을 고르는 연습을 하세요. 넓이 조건, 변의 비, 이등분선, 내접사각형을 보고 필요한 삼각형과 변·각의 대응을 표시하세요(4·8·13·17번 대비).
4. 수열의 합에서는 소거되는 형태를 찾으세요. 유리화, 같은 항의 계수 정리, 부분합의 역수 차, 약수 개수에서 만든 수열을 나누어 연습하세요(6·10·14·15번 대비).
5. 등차·등비수열은 일반항을 세운 뒤 부호 조건을 적용하세요. 절댓값과 양수 조건을 표시하고 후보가 원래 조건에 맞는지 확인하세요(5·9·18·20번 대비).
6. 점화 관계와 귀납법은 이전 단계에서 다음 단계로 달라지는 부분을 적어 보세요. 마지막에는 좌표도형의 조건을 수열 관계로 바꾸는 연습까지 연결하세요(11·12·19번 대비).