보인고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

보인고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 다항함수의 미분 공식을 적용하는 문제에서 출발해 접선과 도형의 관계를 해석하는 문제까지 이어집니다.

극한 문제라고 해서 대입과 인수분해만으로 끝나지는 않습니다. 9번에서는 도함수가 분모에 들어가므로 약분 뒤에도 분모가 사라지는 경우를 살펴야 합니다. 14·18·20번은 좌표와 길이 관계를 먼저 식으로 정리해야 극한 계산으로 넘어갈 수 있습니다.

연속 단원에서도 함수 자체의 연속성과 새롭게 정의한 함수의 성질을 구별해야 합니다. 10번은 수평선과 그래프의 교점 개수를 함수로 읽고, 15번은 접합점의 연속 조건을 그래프의 교점 관계로 바꾸는 접근이 중요합니다. 개념 정의를 그림과 식 사이에서 옮기는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중간과 마지막에 분산된 조건 해석 문제

쉬움으로 분류된 1·3·4·17번은 미분 공식, 사잇값 정리, 평균변화율, 평균값 정리의 기본을 확인합니다. 특히 17번은 서술·단답형이어도 자동 분류 기준 쉬움에 해당합니다. 형식만 보고 뒤로 미루기보다 정리의 가정과 계산 구조가 익숙한지를 먼저 판단하세요.

보통 문항은 계산 전에 적절한 변형을 고르는 능력을 요구합니다. 5번은 부등식의 대소 관계, 8·13번은 미분계수의 정의에 맞춘 식 변형, 11번은 유리화가 출발점입니다. 풀이의 첫 줄을 빠르게 정할 수 있어야 고난도 문항을 검토할 여유가 생깁니다.

어려움 문항은 9·10번에서 등장하고 15·16번과 19·20번으로 이어집니다. 그래프를 그리거나 예외를 분리해야 하는 만큼 단순 연산보다 판단 과정이 길어질 수 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 체감 난도를 확정하는 수치로 해석해서는 안 됩니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 5·9·11·14·16·18·20번으로 가장 큰 비중을 차지합니다. 부등식으로 극한을 정하는 유형과 유리화, 다항식 결정, 좌표 도형의 관계식이 함께 나옵니다. 같은 극한 단원에서도 식이 주어지는 경우와 식부터 세워야 하는 경우를 나누어 연습하세요.

미분계수와도함수는 단순 미분 외에 정의를 활용하는 8·13번이 중요합니다. 함수의연속에서는 접합점의 좌우극한과 함숫값을 맞추는 기본 조건이 그래프 해석으로 확장됩니다. 극한값, 함숫값, 미분계수를 각각 구분해 표시하면 다른 조건을 같은 것으로 처리하는 실수를 줄일 수 있습니다.

도함수의활용은 12·17·19번입니다. 접점이 주어지지 않은 접선은 접점의 좌표를 미지수로 두고 시작하며, 평균값 정리는 적용 조건과 점의 위치를 확인해야 합니다. 19번에서는 접선과 곡선 사이의 거리를 넓이와 연결하므로 도함수 계산 이후의 기하 해석까지 준비해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 결과를 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아가는 단계가 필요합니다. 그래프의 경계, 부등식의 끝값, 좌표식의 분모처럼 예외가 생기는 위치를 풀이 옆에 표시해 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 미분 공식과 정리의 적용이 바로 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 9·10번에서 해석이 길어지면 표시하고 뒤의 보통 문항으로 이동하는 편이 좋습니다. 특히 17·18번을 확인하기 전에 앞의 어려움 문항에 시간을 모두 쓰지 않도록 전체 구성을 살펴보세요.

서술·단답형은 결론에 이르는 근거를 짧게 정리하는 연습이 필요합니다. 17번은 정리의 가정과 점의 구간 조건을, 18번은 좌표 설정과 수직 관계를 먼저 적으세요. 연습할 때 식을 세우는 시간과 계산하는 시간을 따로 기록하면 어디에서 풀이가 지연되는지 알 수 있습니다.

마지막 검토에서는 계산을 처음부터 반복하기보다 누락된 조건을 찾으세요. 2번의 연속 조건, 5번의 양수 여부, 9번의 도함수가 사라지는 경우, 16번의 끝값 허용 여부가 점검 대상입니다. 19번에서는 곡선과 접선의 위치 관계에 맞게 높이를 정했는지, 최대 후보가 실제 최대인지도 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균변화율과 미분계수, 도함수의 의미를 구별하고 기본 계산을 안정시키세요. 계산 뒤 입력값과 구간 조건까지 확인하세요(1·4·17번 대비).
2. 연속과 미분가능성의 접합 조건을 순서대로 쓰세요. 좌우극한·함숫값을 먼저 맞춘 다음 좌우미분계수를 비교하는 연습이 필요합니다(2·6·7번 대비).
3. 극한은 대입 전에 형태를 판단하고 인수분해, 유리화, 차분 만들기 중 출발 방법을 고르세요. 입력의 변화량에 맞춰 분모를 조정하세요(8·9·11·13번 대비).
4. 부등식의 제곱과 나눗셈에서는 부호를 먼저 확인하세요. 극한으로 얻은 범위의 끝값을 원래 근방 조건에 다시 대조하세요(5·16번 대비).
5. 절댓값과 이동을 반영한 그래프를 그린 뒤 교점 개수가 바뀌는 경계를 표시하세요. 경계 자체와 주변 구간을 구분해 기록하세요(10·15번 대비).
6. 접선은 접점을 미지수로 두고, 도형은 중점·수직·거리 관계부터 정리하세요. 길이의 비와 넓이, 좌표의 극한으로 확장하는 연습을 하세요(12·14·18·19·20번 대비).