보인고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

보인고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 속도와 위치, 도형의 넓이뿐 아니라 적분식으로 주어진 함수의 성질을 추론하는 문제까지 포함되어 있습니다.

정적분 단원에서도 미분을 적극적으로 사용합니다. 적분으로 정의된 함수의 극값은 도함수의 부호로 판단하고, 적분을 포함한 등식은 미분한 뒤 다항함수의 형태를 좁힙니다. 따라서 적분 공식만 복습하기보다 미분과 적분을 오가며 조건을 바꾸는 연습이 필요합니다.

조건을 번역하는 첫 단계가 풀이의 길이를 좌우합니다. 절댓값은 부호와 미분가능성으로, 만나는 횟수는 그래프의 교점 개수로, 움직이는 도형은 구간별 함수로 표현해야 합니다. 계산을 시작하기 전에 무엇이 바뀌는 지점인지 표시하면 경우 누락을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 보통 문항은 초반의 1~4번과 8·10·20번입니다. 이 구간도 단순 대입만으로 끝나지는 않습니다. 대칭 구간에서의 우함수·기함수 구별, 로그의 정의역, 합성된 함수의 구간 조건을 정확히 처리해야 합니다.

5~7번에서 어려움 문항이 나타나지만 8·10번은 보통으로 분류됩니다. 앞 문항에서 풀이가 길어져도 다음 문제의 접근 가능성을 따로 판단하세요. 11~19번은 어려움이 연속되며, 적분식 변형에 극값·절댓값·교점 조건이 결합됩니다.

서술·단답형 중 20번은 보통이며 나머지는 어려움으로 분류됩니다. 번호나 답안 형식만으로 풀이 순서를 정하면 확보할 수 있는 문항을 늦게 볼 수 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 정적분 중심의 미분·적분 연결

가장 많은 정적분 단원은 계산법보다 적분식의 구조를 읽는 능력을 폭넓게 다룹니다. 4·7·13·14번에서는 미분으로 관계를 단순화하고, 15·19번에서는 절댓값이나 구간별 정의를 그래프의 성질과 연결합니다. 같은 단원 안에서도 출발 방법이 다르므로 유형을 구별해 복습하세요.

정적분의활용은 속도와 위치를 다루는 2·16번, 넓이와 최적화를 다루는 9·20·21번으로 나뉩니다. 위치 변화량과 이동거리, 부호 있는 적분과 도형의 넓이를 구별해야 합니다. 특히 21번은 겹치는 도형의 넓이를 먼저 함수로 만들어야 다음 적분 단계로 넘어갈 수 있습니다.

도함수의활용에서는 극대·극소와 실근 개수, 절댓값 함수의 미분가능성이 연결됩니다. 부정적분인 8번도 적분상수를 나머지 조건으로 결정하므로 다항식의 기본 성질이 필요합니다. 단원별 공식 학습 뒤에는 조건을 서로 다른 표현으로 바꾸는 문제를 이어서 풀어 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 정적분 비중과 서술·단답형 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 10문항에서 올해 14문항으로 늘었고 쉬움은 사라졌습니다. 서술·단답형도 2문항에서 4문항으로 늘어 조건 해석을 풀이 과정으로 정리하는 준비가 더 필요해진 구성입니다.

도함수의활용은 작년 10문항에서 올해 4문항으로 줄었으며, 정적분은 7문항에서 11문항으로 늘었습니다. 정적분의활용도 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 다만 올해 적분 문항에서도 증감과 극값 판단을 사용하므로 미분 복습을 줄이기보다 적분과 연결하는 방향이 적절합니다.

작년 어려움 문항은 6번부터 나타났고 올해는 5번부터 등장합니다. 작년에는 보통 문항이 후반의 17·19번에도 있었고, 올해는 11~19번에 어려움이 이어진 뒤 20번이 보통으로 분류됩니다. 다음 시험 준비에서는 어려운 문제에 머무는 시간을 조절하고 전체 문항을 살피는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리의 복합성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 원래 조건을 다른 형태로 바꾸는 단계가 반복됩니다. 중간 결과가 어떤 조건에서 나왔는지 적어 두면 마지막 검증에서 빠뜨린 조건을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 대칭성이나 기본 적분 관계가 바로 보이는 문항부터 확보하세요. 5~7번에서 막혀도 8·10번을 확인하고, 후반에서는 20번의 도형 조건을 따로 살펴보세요. 연습할 때 조건 해석에 걸린 시간과 계산에 걸린 시간을 구분해 기록하면 지연 원인을 찾을 수 있습니다.

서술·단답형은 계산 전에 경우를 나누는 근거를 적으세요. 16번에서는 만나는 시각의 범위와 경계의 포함 여부, 17번에서는 미분불가능한 점이 생기는 원인, 18번에서는 이동된 적분구간의 대응을 먼저 표시하세요. 근거가 정리되면 불필요한 전개를 줄이고 다시 풀 때도 출발점을 유지할 수 있습니다.

마지막 검토에서는 적분의 방향과 절댓값의 적용 대상을 확인하세요. 2번의 위치와 거리, 9·20번의 적분과 넓이, 19번의 위끝과 아래끝을 구별해야 합니다. 7·13번은 도함수의 영점 주변 부호가 실제로 바뀌는지, 14번은 미분 전 조건까지 만족하는지 되짚어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 우함수·기함수와 적분의 방향을 복습하고, 대칭 구간에서 소거되는 항을 먼저 표시하세요(1·12·19번 대비).
2. 부정적분의 상수 결정과 정적분 극한을 연결해 연습하세요. 극한의 존재 조건과 미분계수 해석을 나누어 적으세요(3·4·8번 대비).
3. 적분으로 정의된 함수를 미분한 뒤 부호표를 작성하세요. 영점의 중복도와 지수의 홀짝에 따른 변화를 비교하세요(7·13·14·18번 대비).
4. 삼차함수의 극값과 수평선의 교점을 함께 그리세요. 서로 다른 근과 중근, 제한된 정의역의 교점을 구별하세요(5·6·16번 대비).
5. 절댓값 함수의 영점과 미분가능성을 점검하세요. 가로지르는 점과 접하는 점을 나누고 기존의 꺾임도 표시하세요(11·15·17번 대비).
6. 속도에서 위치를 구하고, 넓이를 구간별 함수로 표현하는 연습을 하세요. 도형 스케치와 부호 확인 뒤 최적화 단계로 넘어가세요(2·9·10·20·21번 대비).