개포고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

개포고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기초부터 도함수의 부호로 함수의 성질을 추론하는 내용까지 이어집니다.

초반에는 미분계수의 정의, 곱의 미분법, 사잇값의 정리처럼 개념의 기본 적용을 확인합니다. 중반에는 롤의 정리와 평균값 정리의 적용 조건, 극한이 존재하기 위한 인수 조건, 접선의 기하적 의미를 다룹니다. 공식을 기억하는 것과 그 공식을 적용할 수 있는지 판단하는 것을 함께 연습해야 합니다.

후반에서는 같은 개념을 다른 형태의 조건으로 읽는 부담이 커집니다. 교점의 개수나 교점 좌표의 합을 매개변수에 대한 함수로 보고, 그 함수의 연속성을 판단하는 방식이 등장합니다. 마지막 서술·단답형도 증가·감소를 도함수의 부호로 바꾼 뒤 경계에서의 연속 조건을 연결해야 합니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~5번입니다. 그래프의 좌우 극한, 증분을 이용한 미분계수, 유리식의 극한, 곱의 미분법, 실근이 존재하는 구간을 다룹니다. 이 구간은 접근법을 빠르게 정하되, 접근 방향과 부호를 확인하며 안정적으로 처리하는 연습에 적합합니다.

보통은 6~11번과 13~17번입니다. 계산량보다 조건을 구별하는 일이 중요합니다. 7·8번에서는 연속성과 미분가능성, 정리의 적용 여부를 구분하고, 11번에서는 접합점에서의 연속과 분모가 사라지지 않는 조건을 따로 확인해야 합니다.

어려움은 12번에서 먼저 등장하고 18~21번에 이어집니다. 12번에서 막혀도 보통으로 분류된 13~17번을 확인할 필요가 있습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에 경우 분류와 설명에 쓸 시간을 남겨야 하는 구성은 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 극한의 비중과 연속 조건의 확장

함수의극한은 1·3·9·10·14·16·17·19번에 배치되어 있습니다. 인수분해나 최고차항 비교만 반복되는 구성이 아닙니다. 부등식으로 함수를 끼워 추정하거나, 좌표로 표현한 길이를 극한식에 넣거나, 구간별 함수의 몫에서 극한의 존재를 살피는 등 출발점을 바꾸는 문제가 포함됩니다.

도함수의활용은 6·8·12·15·21번입니다. 롤의 정리와 평균값 정리에서 시작해 도함수 그래프, 접선, 증가·감소 조건으로 확장됩니다. 미분계수와도함수의 2·4·7·13번을 먼저 익히고 적용 문제로 넘어가면 정의와 기하적 의미를 함께 연결하기 좋습니다.

함수의연속은 5·11·18·20번입니다. 기본적인 사잇값의 정리부터 매개변수에 따른 교점 변화까지 폭이 있습니다. 특히 18·20번은 자동 분류 기준 어려움이므로, 연속 조건을 단순한 계수 대입 문제로만 연습하지 말고 그래프가 접하거나 구간 경계를 지나는 상황까지 살펴보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 조건 처리의 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 하나의 계산을 끝내는 데 그치지 않고 교점의 변화, 도형 관계, 도함수의 부호를 다음 조건으로 옮겨야 한다는 점입니다. 풀이를 시작할 때 무엇이 변하고 어디에서 경우가 갈리는지 먼저 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 정확히 처리하고, 중반에서 접근 방향이 보이는 문항을 확보하세요. 12번은 도함수 그래프의 여러 성질을 함께 검토하므로 판단이 길어지면 표시한 뒤 13~17번을 확인하는 편이 좋습니다. 후반 문항을 읽고 조건을 정리할 시간을 남기는 것이 중요합니다.

21번은 전체를 훑을 때 미리 확인하세요. 객관식 18~20번을 모두 끝낸 뒤에 처음 읽으면 증가·감소를 부호표로 정리할 시간이 부족해질 수 있습니다. 연습에서는 18·20번의 경우 분류와 19번의 도형식 작성, 21번의 조건 번역에 걸린 시간을 구별해 기록하고 오래 걸린 첫 단계를 다시 연습하세요.

검토할 때는 새 계산보다 조건 누락을 찾으세요. 6·8번은 정리에서 요구하는 열린구간, 11번은 분모의 영점과 전체 정의역, 14번은 길이 표현에 영향을 주는 매개변수의 부호가 중요합니다. 17번은 분모가 사라지는 점과 식이 바뀌는 점을 구별하고, 18·20번은 접점과 경계에서의 함숫값을 따로 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌극한·우극한과 함수의 연속을 먼저 복습하세요. 그래프에서 읽은 극한과 실제 함숫값을 따로 기록하고, 구간별 함수의 몫에서도 같은 원칙을 적용하세요(1·5·7·17번 대비).
2. 미분계수의 정의와 곱의 미분법을 정리하세요. 증분의 비가 무엇을 뜻하는지 설명하고 평균비용과 한계비용을 직선의 기울기로 연결하세요(2·4·13번 대비).
3. 유리식의 극한을 인수 조건과 최고차항 비교로 분류하세요. 부등식이 주어진 경우에는 먼저 어떤 비율의 극한을 알아내야 하는지 정하세요(3·9·10·16번 대비).
4. 롤의 정리와 평균값 정리는 적용 조건부터 확인하세요. 연속·미분가능 여부를 판정한 뒤 도함수 방정식의 해가 지정된 구간 안에 있는지 검사하세요(6·7·8번 대비).
5. 좌표와 도형을 길이식으로 옮기는 연습을 하세요. 내분점·수직 조건·접선 길이·넓이 관계를 정리한 뒤 극한 계산과 평행선 사이의 거리로 연결하세요(14·15·19번 대비).
6. 교점의 개수와 도함수의 부호를 표로 정리하세요. 판별식뿐 아니라 근의 위치와 경계 포함 여부를 확인하고, 연속 조건으로 계수를 결정하는 과정까지 써 보세요(11·12·18·20·21번 대비).