잠신고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

잠신고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한과 연속을 중심으로 미분의 정의와 접선까지 연결되며, 연속 여부를 판단하는 문제도 대수 계산과 그래프 해석으로 다양하게 제시됩니다.

극한값을 구하는 계산만으로는 충분하지 않습니다. 유한한 극한이 존재한다는 조건으로 분자의 소거를 찾아내거나, 무한대에서의 거동으로 다항식의 차수를 제한해야 합니다. 연속 문항에서는 경계의 좌우 식을 맞추는 기본형에서 교점 개수의 변화까지 사고 범위가 넓어집니다.

미분 역시 공식 대입 외의 접근이 필요합니다. 나머지를 항등식으로 표현한 뒤 미분하거나, 복잡한 극한을 차분몫으로 분리하는 문제가 포함됩니다. 계산을 시작하기 전에 어떤 정의와 조건을 사용할지 한 문장으로 적어 보는 연습이 이 시험의 준비 방향과 잘 맞습니다.

난이도 분포 — 객관식 후반의 조건 결합

쉬움으로 분류된 1번은 다항함수의 연속성을 이용한 합성 형태의 극한, 8번은 사잇값 정리의 적용입니다. 특히 8번은 주어진 함숫값 자체의 부호보다 방정식을 한쪽으로 모아 만든 함수의 부호를 확인해야 합니다. 쉬움 구간에서도 적용할 대상의 선택이 먼저입니다.

보통 문항은 2~7번, 9~15번과 서술·단답형 20~22번입니다. 유리화, 인수분해, 미분계수의 정의처럼 익숙한 도구를 쓰지만 조건을 연결하는 단계가 포함됩니다. 연속과 미분가능성을 같은 조건으로 처리하거나 합성함수의 접근 방향을 생략하면 중간 구간에서도 실수가 생길 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움은 16~19번과 23번입니다. 교점 개수를 매개변수에 따라 나누거나, 미분과 연속을 결합하고 도형의 넓이를 극한식으로 바꾸는 부담이 있습니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니며, 풀이 단계가 길어지는 위치를 파악하는 참고로 활용하세요.

출제 단원 — 연속 조건을 여러 표현으로 해석

함수의연속은 2·7·8·13·14·15·16·19·22번입니다. 조각함수의 경계, 사잇값 정리, 그래프의 교점, 함수의 곱까지 다룹니다. 연속 조건을 항상 같은 모양의 연립방정식으로 외우기보다, 각 문항에서 무엇의 좌우 극한을 비교하는지 구별해야 합니다.

함수의극한은 1·5·10·12·17·21·23번입니다. 다항함수의 연속성을 활용하는 기본형부터 다항식 결정과 도형 극한으로 이어집니다. 특히 무한대의 극한에서는 최고차항을, 유리식의 유한한 극한에서는 분모의 영점과 분자의 인수를 우선 확인하는 습관이 필요합니다.

미분계수와도함수는 4·6·9·11·18·20번이며, 도함수의활용은 3번입니다. 접선 계산보다 미분의 정의를 식 안에서 알아보는 능력을 여러 형태로 확인합니다. 단원 분류와 별개로 17번에도 도함수가 등장하므로, 극한·연속·미분을 연결하는 복습이 효과적입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 표현을 바꾸는 단계가 필요하며, 교점 개수표·구간별 식·거리 중심의 그림을 먼저 만들면 이후 계산의 목적이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~15번에서 접근이 보이는 문제를 확보하고, 16~19번에서 조건 정리가 길어지면 표시해 두세요. 서술·단답형 20~22번은 자동 분류 기준 보통이므로 객관식 후반을 모두 끝낸 뒤에만 풀겠다는 순서를 고집할 필요가 없습니다. 23번은 도형을 식으로 옮기는 시간을 고려해 별도로 살펴보세요.

서술·단답형은 출발 근거를 짧게 남기면 검토가 쉬워집니다. 20번에서는 항등식을 차분몫으로 바꾸는 과정, 21번에서는 차수를 제한하는 이유와 부호 조건, 22번에서는 곱의 좌우 극한이 같아지는 조건을 적으세요. 연습할 때 계산 시간과 접근법을 찾는 시간을 나누어 기록하면 반복 학습할 지점을 찾을 수 있습니다.

마지막에는 경계와 예외를 중심으로 확인하세요. 6번의 연속 조건, 12번의 안쪽 함수값 접근 방향, 14번의 구간 내부 분모 조건, 16·19번의 근의 구간 조건이 주요 점검 대상입니다. 17번은 중복 인수, 18번은 입력 변화량의 부호, 23번은 유리화 이후 인수의 거듭제곱을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 계산을 먼저 정리하세요. 연속성에 의한 대입, 유리화, 최고차항 비교를 구분해 시작할 도구를 고르세요(1·2·5번 대비).
2. 극한의 존재 조건을 다항식의 차수와 인수로 바꾸세요. 유한한 지점과 무한대에서 얻는 조건을 나누고 계수의 부호까지 확인하세요(10·17·21번 대비).
3. 연속 조건은 정의역 내부와 경계를 함께 조사하세요. 항등식의 약분, 분모의 영점, 곱이 연속이 되는 경우를 묶어 연습하세요(7·13·14·22번 대비).
4. 그래프에서는 접근 방향과 교점 개수표를 작성하세요. 사잇값 정리의 대상 함수를 정하는 기본형에서 접점과 경계를 포함한 개수 변화로 확장하세요(8·12·15·16·19번 대비).
5. 미분의 정의를 식 안에서 찾아내세요. 연속 조건을 먼저 확보하고, 변화량의 배수를 맞추며 차분몫을 분리하는 연습을 하세요(6·9·11·18·20번 대비).
6. 미분과 도형 조건을 대수식으로 연결하세요. 나머지의 항등식, 접선의 절편, 거리로 표현한 넓이처럼 중간 표현을 먼저 세우는 순서로 복습하세요(3·4·23번 대비).