문현고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

문현고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산에서 시작해 접선, 증가와 감소, 평균값 정리까지 연결됩니다.

초반에는 연속 조건과 극한 계산, 평균변화율을 확인하지만 곧바로 응용이 섞입니다. 미분계수의 정의를 극한식에서 찾아내거나 도함수의 그래프를 원래 함수의 성질로 읽어야 하므로, 공식을 외우는 데서 학습을 끝내기 어렵습니다.

특히 같은 조건도 다른 표현으로 제시됩니다. 접선과 축의 만남을 거리로 바꾼 문항, 함수의 곱에 연속 조건을 붙인 문항이 대표적입니다. 무엇을 계산할지 정하기 전에 주어진 조건이 어느 함수에 적용되는지 구별하는 시험입니다.

난이도 분포 — 보통 문항 사이에 분산된 어려움

쉬움으로 분류된 1~3번은 경계에서의 연속, 여러 극한식의 계산, 평균변화율을 다룹니다. 기본 유형이지만 극한의 접근 방향과 변화량의 분모를 놓치면 틀릴 수 있으므로, 짧은 검산으로 계산을 확정하는 편이 좋습니다.

보통 구간에도 그래프 해석과 논리 설명이 포함됩니다. 12번은 교점 개수가 바뀌는 경계를 찾아야 하고, 17번은 평균값 정리를 이용해 함수값의 차와 도함수의 극한을 연결합니다. 보통이라는 분류를 단순 대입형이라는 뜻으로 받아들이지 마세요.

어려움은 8번에서 시작해 13·15번과 18·20번으로 이어집니다. 뒤로 갈수록 계속 어려워지는 배열이 아니므로, 막힌 문항은 표시한 뒤 다른 문항을 살펴보세요. 자동 분류 기준의 분포이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 극한과 도함수 활용이 중심

함수의극한은 유리식 계산부터 도형의 넓이비, 다항식의 결정, 합성함수의 극한까지 폭이 넓습니다. 같은 단원 안에서도 4번의 인수 조건과 8·20번의 다항식 구조 추론을 단계적으로 연결해 연습할 필요가 있습니다.

도함수의활용은 접선뿐 아니라 도함수 그래프와 평균값 정리까지 포함합니다. 5번에서 접선의 기울기와 절편을 정리하고, 13번에서 절편을 거리 함수로 바꾸는 흐름으로 공부하면 기본형이 어떻게 확장되는지 확인할 수 있습니다.

함수의연속에서는 좌우극한을 맞추는 계산 외에 교점 개수와 실근의 존재를 설명해야 합니다. 미분계수와도함수의 19번은 다항식 나눗셈의 항등식에 미분을 적용합니다. 단원별 비중만 보지 말고 연속과 미분이 결합되는 지점도 함께 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 어려움 증가

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항은 24문항에서 21문항으로 줄었지만, 자동 분류 기준 어려움은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 쉬움은 8문항에서 3문항으로 줄어 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 가벼워졌다고 보기 어렵습니다.

작년에는 도함수의활용이 8문항으로 가장 많았고, 올해는 함수의극한과 도함수의활용이 각각 6문항입니다. 함수의극한은 작년 5문항에서 올해 6문항으로 늘었고, 함수의연속은 모두 5문항입니다. 미분 활용에만 치우치지 않고 극한의 구조를 읽는 훈련도 병행하세요.

작년 어려움은 17·20·21번에 있었지만 올해는 8·13·15·18·20번으로 분산됐습니다. 서술·단답도 작년 22·23·24번에서 올해 19번으로 바뀌었습니다. 끝부분에만 시간을 남기는 방식보다 중간의 어려운 문제를 건너뛰고 복귀하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 익숙한 계산 전에 조건의 적용 대상을 구별해야 한다는 점입니다. 거리인지 절편인지, 개별 함수인지 곱인지, 입력값의 방향인지 안쪽 함수값의 방향인지 먼저 표시하세요. 이용자 투표로 순위를 정한 것이 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반 1~3번을 정확히 처리하고 4~7번에서 인수 조건과 도함수 해석의 흐름을 이어 가세요. 8번에서 인수 구조가 보이지 않으면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 특정 분량의 시간을 고정하기보다 첫 풀이와 재검토를 구분해 연습하세요.

19번은 제공된 분류상 서술·단답형입니다. 마지막 번호까지 객관식 계산만 이어 간다고 생각하지 말고, 항등식의 대입과 미분으로 얻는 근거를 적을 여유를 남겨 두세요. 21번도 존재와 유일성을 설명하는 논리를 공부해 두면 사잇값 정리의 사용 범위를 정확히 점검할 수 있습니다.

검토할 때는 14번의 분모 조건, 15번의 열린구간과 사라지는 인수, 18번의 좌우 접근 방향을 우선 확인하세요. 7·11번에서는 도함수 그래프를 원래 함수의 그래프로 읽지 않았는지 살펴보세요. 식을 처음부터 다시 계산하기보다 조건을 적용한 줄을 찾아 확인하는 방식이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 극한과 연속부터 정리하세요. 인수분해·통분·유리화의 선택 기준과 경계에서의 함숫값을 함께 확인합니다(1·2·4번 대비).
2. 평균변화율에서 미분계수의 정의로 이어 가세요. 증가량을 새 변수로 바꾸고 곱 전체의 차분몫을 읽는 연습을 합니다(3·6·10번 대비).
3. 도함수의 부호표와 접선식을 익히세요. 극값의 위치와 함수의 높이를 구분한 뒤 거리 함수의 미분가능성으로 확장합니다(5·7·11·13번 대비).
4. 연속 조건을 여러 형태로 연습하세요. 교점 개수의 변화, 역수의 분모 조건, 곱의 연속에서 인수가 사라지는 경우를 구별합니다(12·14·15번 대비).
5. 정리의 가정과 결론을 문장으로 써 보세요. 평균값 정리의 중간점과 사잇값 정리의 존재 결론을 확인한 뒤 단조성으로 유일성을 보완합니다(16·17·21번 대비).
6. 극한의 구조 추론을 마무리하세요. 도형을 식으로 바꾸기, 중복 인수와 차수 판단, 합성함수의 접근 방향을 각각 훈련합니다(8·9·18·20번 대비).
7. 나머지 조건의 서술을 연습하세요. 몫을 둔 항등식에서 대입과 미분으로 얻은 관계를 연결하고, 마지막에는 전체 문항을 풀며 복귀 순서를 점검합니다(19번 대비).