보인고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

보인고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 도함수의활용, 정적분, 정적분의활용입니다. 도함수로 그래프와 운동을 해석하고, 정적분으로 함수의 값과 넓이를 다루는 구성이며 단원 사이의 연결도 확인됩니다.

기본 계산을 마친 뒤 조건의 의미를 다시 해석해야 하는 문항이 많습니다. 접선이 일치한다는 조건은 기울기뿐 아니라 같은 직선이라는 뜻이고, 적분값이 주어졌다는 사실만으로 넓이가 정해지는 것은 아닙니다. 계산 결과가 어떤 구간과 부호에서 성립하는지 점검해야 합니다.

객관식 후반에 자동 분류 기준 어려움이 이어지지만, 서술·단답형은 기본적인 극값 조건과 근과 계수의 관계로 접근할 수 있습니다. 번호순으로만 풀기보다 시험지 전체를 훑고 풀이의 출발점이 보이는 문항을 확보하는 연습이 유효합니다.

난이도 분포 — 중간부터 등장하는 조건 결합형

쉬움으로 분류된 1·2번은 정적분의 기본 계산과 운동 방향의 변화를 확인합니다. 보통인 3·4·5번에서도 접하는 조건, 적분 등식의 미분, 닫힌구간의 최대·최소를 구별해야 합니다. 개념을 알고 있어도 적분상수나 끝점 검토를 생략하면 실수가 생깁니다.

6·8·9번에서 어려움이 등장하므로 앞부분을 모두 짧은 계산 문제로 예상해서는 안 됩니다. 11·12번은 함수의 범위와 극값 조건을 연결하고, 14~16번은 구간별 함수 결정과 대칭, 도함수 복원으로 이어집니다. 풀이 중 계산보다 조건을 정리하는 시간이 길어질 수 있는 구간입니다.

17·19번은 자동 분류 기준 보통이므로 후반에 있다는 이유만으로 미루지 마세요. 18·20번은 각각 접선의 개수와 기울기 부호, 절댓값의 최댓값을 다시 최소화하는 구조입니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도나 성적 분포를 나타내는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수 활용을 중심으로 적분 해석까지

도함수의활용은 전체의 절반입니다. 운동 방향과 접선에서 시작해 합성함수의 최솟값, 극값 조건, 외부의 점에서 그은 접선으로 확장됩니다. 같은 미분 단원이라도 도함수를 구하는 데서 끝나지 않고 그 부호와 실근의 위치를 원래 조건에 연결해야 합니다.

정적분에서는 1번의 직접 계산과 13번의 평균값 성질을 바탕으로, 4·5번의 적분으로 정의된 함수와 14~16번의 조건 해석을 연습하세요. 함수의 합과 곱, 절댓값 적분, 도함수의 대칭처럼 다른 표현으로 주어진 정보를 실제로 적분할 함수의 형태로 바꾸는 과정이 중요합니다.

정적분의활용은 6·7·9번입니다. 평행이동 관계를 이용한 넓이, 속도 그래프의 이동거리, 정수 부분에 따라 식이 달라지는 넓이가 포함됩니다. 적분값과 기하적 넓이, 위치 변화량과 이동거리를 구별하는 것이 공통적인 출발점입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건을 연결하는 단계에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 새로운 함수나 변수를 도입한 뒤 원래 문제의 조건으로 돌아와야 합니다. 보조식을 만든 목적과 마지막에 확인할 조건을 나란히 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 출발점이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 6·8·9번에서 식의 구조가 바로 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 17·19번은 후반의 서술·단답형이지만 접근할 개념이 분명하므로, 어려운 객관식을 모두 해결한 뒤에만 보겠다는 순서를 고집하지 마세요.

검토할 때는 미분과 적분의 부호를 우선 확인하세요. 2번은 시간 범위와 속도의 부호 변화, 5번은 끝점 비교, 7번은 이동거리와 위치 변화량의 구별이 중요합니다. 14·15번은 함수의 식이나 부호가 달라지는 경계를 먼저 표시하고 적분했는지 점검하세요.

서술·단답형에서는 조건을 적용한 근거를 짧게 남기는 연습을 하세요. 17번은 극값이 없다는 말과 도함수 부호의 관계, 19번은 극점의 입력 차를 근의 관계식으로 옮기는 과정이 핵심입니다. 마지막에는 정수 조건, 양수 조건, 중근의 포함 여부를 확인하면 계산을 처음부터 반복하는 검토보다 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분 계산과 운동의 기본 해석부터 복습하세요. 적분구간의 방향, 속도의 부호, 위치 변화량과 이동거리를 구별해 설명해 보세요(1·2·7번 대비).
2. 적분으로 정의된 함수를 미분하는 연습을 하세요. 움직이는 양 끝을 모두 반영하고 대입으로 초기값을 얻은 뒤 극점과 끝점을 비교하세요(4·5번 대비).
3. 접선의 조건을 식으로 옮기세요. 접점, 미분계수, 지나는 점을 각각 적고 공통접선과 외부 점의 접선으로 확장하세요(3·8·18번 대비).
4. 도함수의 근과 그래프를 연결하세요. 치역을 제한한 최대·최소와 실근 개수 조건을 연습한 뒤 판별식과 근의 관계로 정리하세요(11·12·17·19번 대비).
5. 구간별 적분과 대칭을 묶어 연습하세요. 평행이동, 정수 경계, 대소 관계, 절댓값으로 나뉘는 구간을 먼저 그려 보세요(6·9·13·14·15번 대비).
6. 최적화는 함수 구성부터 검증까지 이어서 연습하세요. 넓이를 변수로 나타내고 도함수로 원래 함수를 복원한 뒤, 여러 최대값 후보가 경쟁하는 구조로 확장하세요(10·16·20번 대비).