보인고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

보인고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극값과 최댓값·최솟값, 접선, 적분으로 표현한 함수, 넓이와 이동 거리를 함께 다룹니다.

기본 적분 공식을 적용하는 문제도 있지만, 함수를 먼저 복원하거나 그래프의 형태를 정해야 하는 문제가 많습니다. 도함수 그래프에서 원함수의 변화량을 읽고, 정적분으로 정의된 함수에서는 다시 미분해 증가와 감소를 파악하는 식으로 관점을 바꾸어야 합니다.

절댓값과 서로 다른 실근의 개수는 중요한 연결 요소입니다. 절댓값을 구간별 식으로 바꾼 뒤 경계와 극값을 확인해야 하며, 근의 개수를 세는 문제에서는 접할 때와 통과할 때를 구별해야 합니다. 계산 결과뿐 아니라 경우를 나눈 근거를 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 이후 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 2·4번은 도함수에서 함수의 변화량을 구하는 방법과 대칭 구간의 정적분 성질을 확인합니다. 보통인 1·3·6·7번도 끝점 비교, 구간 분할, 운동 방식이 바뀌는 시각, 적분 구간의 양 끝이 일치하는 입력을 정확히 처리해야 합니다.

5번에서 어려움이 등장하고 6·7번은 보통으로 돌아옵니다. 이후 8~15번에는 운동 방향 조건, 움직이는 구간의 최댓값, 접선과 절댓값 그래프 같은 해석이 이어집니다. 앞 문항에서 풀이가 길어지더라도 뒤의 기본형을 확인할 여지를 남겨 두세요.

16번은 보통, 17~21번은 어려움으로 분류되어 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 서술·단답형 여부와 난이도를 동일시하지 말고, 문제를 훑으면서 자신의 접근 가능성을 따로 판단하는 것이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 연결

도함수의활용은 최댓값·최솟값의 기본에서 출발해 절댓값 함수의 미분가능성, 접선과 교점 개수로 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 도함수를 구하는 단계보다 부호 변화와 정의역을 읽는 단계에 집중해야 합니다. 1·16번을 기초로 9·14·15·20번의 그래프 해석으로 넘어가세요.

정적분의활용에서는 넓이와 거리를 계산하기 전에 적분할 대상과 구간을 정해야 합니다. 3번의 구간별 함수, 6·8번의 속도 조건, 12번의 대칭성, 17번의 거리 비교가 각각 다른 출발점을 요구합니다. 넓이와 변위, 이동 거리를 같은 방식으로 처리하지 않도록 구별하세요.

정적분의 11·18·21번은 누적된 적분값의 성질을 도함수와 연결합니다. 정적분을 포함한 식이라고 바로 원시함수를 전개하기보다, 미분해서 얻는 부호 정보와 처음의 적분 조건을 함께 살펴보세요. 부정적분의 2번 역시 도함수와 원함수 사이의 관계를 확인하는 기초가 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답은 감소하고 어려움 분류는 증가

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 작년 16·19·20·21번에서 올해 16·17번으로 줄었지만, 자동 분류 기준 어려움은 늘고 보통은 줄었습니다. 작성형 문항 수가 줄었다는 이유만으로 풀이 부담까지 작아졌다고 판단하기 어렵습니다.

도함수의활용은 작년에도 가장 많은 단원이었고 올해 비중이 더 커졌습니다. 정적분은 작년과 올해 각각 5문항, 정적분의활용은 작년 4문항에서 올해 5문항으로 바뀌었습니다. 작년에 있던 함수의연속과 미분계수와도함수의 별도 분류는 올해 단원표에 없습니다.

작년 어려움 분류는 9번부터 나타났지만 올해는 5번과 8번부터 확인됩니다. 올해도 16번처럼 보통 문항이 중간에 있으므로 번호 순서만으로 난이도를 예상하지 마세요. 대비할 때는 도함수 활용의 기본형을 안정시킨 뒤, 적분과 절댓값 조건이 결합된 그래프 해석으로 확장하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 해석 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 가능한 경우를 먼저 정하고, 연속성·미분가능성·적분 조건으로 걸러 내야 합니다. 처음부터 완성된 함수식을 추측하기보다 후보를 제한한 근거를 순서대로 남기세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번과 6·7번처럼 기본 구조가 드러나는 문항을 먼저 확인하세요. 5번에서 막혔다면 표시하고 넘어간 뒤 돌아오는 운영이 필요합니다. 후반의 긴 그래프 해석에 들어가기 전에 16번의 최솟값과 부등식 조건도 확인해 두세요.

13~15번과 18~21번에서는 계산 전에 간단한 그래프와 경우표를 만드는 데 시간을 쓰세요. 접하는 높이, 절댓값 안의 영점, 구간별 식이 바뀌는 지점을 표시하면 같은 계산을 반복하는 일을 줄일 수 있습니다. 실제 시험 시간을 가정한 연습에서는 식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 기록하세요.

마지막 검토는 8번의 방향 전환과 속도 영점의 차이, 16번의 엄격한 부등호, 17번의 거리 비교를 중심으로 하세요. 교점 문제는 경계에서 중복된 근이 없는지, 적분 문제는 축 아래 부분과 음의 방향 적분의 부호를 확인하세요. 다시 전개하기보다 조건 누락을 먼저 찾는 검토가 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표에서 극값과 구간의 최댓값·최솟값을 구분하세요. 끝점 비교와 엄격한 부등식을 함께 연습하세요(1·9·16번 대비).
2. 도함수와 원함수의 변화량을 정적분으로 연결하세요. 대칭 구간의 성질과 적분 등식의 기준점 대입도 복습하세요(2·4·5·7번 대비).
3. 넓이와 이동 거리를 구간 분할로 표현하세요. 속도식의 영점 전후 부호와 운동 방식이 바뀌는 조건부터 확인하세요(3·6·8번 대비).
4. 등차수열 조건을 인수 형태나 대칭성으로 바꾸세요. 함숫값의 규칙과 근의 규칙이 각각 어떤 식을 만드는지 구별하세요(10·12번 대비).
5. 절댓값 함수의 근과 연결점에서 연속성·미분가능성을 검사하세요. 좌우에서 적용할 식을 명확히 쓰는 습관을 들이세요(13·17·19번 대비).
6. 접선과 수평선의 교점 수를 경우표로 정리하세요. 극값에 닿는 순간과 구간 경계의 포함 여부를 따로 확인하세요(14·15·18·20번 대비).
7. 적분함수를 미분해 그래프를 읽고 원래의 적분 조건으로 돌아오세요. 연속 조건과 누적 적분의 부호를 연결하는 연습으로 마무리하세요(11·21번 대비).