효원고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

효원고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

효원고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 기본 계산부터 연속성, 미분계수의 정의, 접선과 평균값 정리까지 이어집니다.

초반에는 미분 공식과 인수분해, 접선의 방정식처럼 풀이 출발점이 비교적 명확한 문제가 있습니다. 중반부터는 극한식에서 함숫값과 미분계수를 따로 읽거나, 불연속인 함수들을 연산한 결과의 연속성을 판단해야 합니다. 개별 개념을 알고 있는지와 조건에 맞게 연결할 수 있는지를 함께 확인하는 구성입니다.

후반 도형 문항은 그림을 보는 것만으로 끝나지 않습니다. 넓이를 거리로 바꾸고 교점 개수를 함수로 표현하거나, 거리의 최댓값을 구간별 식으로 만들어야 합니다. 한편 19번 해설 자료에는 근거를 논술하라는 내용이 있어 등록 형식과 차이가 보입니다. 구성 수치는 등록 정보를 따르되 학습할 때는 근거를 쓰는 연습도 하세요.

난이도 분포 — 후반의 조건 변환과 중간의 기본형

쉬움 문항은 1~5번과 12·19번입니다. 초반의 공식 적용뿐 아니라 그래프에서 극한과 함숫값을 구분하는 일, 연속성과 미분가능성을 정의로 조사하는 일도 포함됩니다. 기본형이라도 접근 방향이나 좌우미분계수의 부호를 생략하면 실수할 수 있습니다.

보통 문항은 6·7·8·9·11·13번입니다. 분모가 사라질 때 분자가 만족해야 하는 조건, 함수 비의 극한을 위한 식 변형, 사잇값 정리의 적용 근거가 중요합니다. 그래프 문제는 읽은 내용을 간단한 표로 옮기면 판단해야 할 대상이 선명해집니다.

어려움은 10번과 14~18번, 20·21번입니다. 미분과 나머지의 연결에서 시작해 도형의 넓이, 교점의 개수, 구간별 최대 함수로 확장됩니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다. 특히 후반에서는 계산량보다 식을 세우는 단계에 시간을 남겨야 합니다.

출제 단원 — 극한과 미분계수가 함께 중심을 이룹니다

미분계수와도함수는 기본 미분법부터 정의를 이용한 극한, 항등식의 미분, 미분가능성의 경계 조건까지 다룹니다. 8번의 입력 변화량 해석을 바탕으로 14번의 곱의 미분법과 15번의 인수 조건을 연결해 공부하면 좋습니다. 18번은 미분하기 전에 구간별 함수식을 정해야 한다는 점에서 부담이 큽니다.

함수의극한은 유리식 계산과 그래프 읽기뿐 아니라 도형 활용도 포함합니다. 16·20번에서는 먼저 넓이의 식을 만들고 나서 극한을 계산합니다. 21번은 부호에 따라 달라지는 식의 좌우극한을 새 그래프로 옮기는 문제이므로, 대입과 약분만 반복하는 학습으로는 대비하기 어렵습니다.

함수의연속에서는 연속 조건, 최대·최소 정리, 사잇값 정리와 그래프 해석이 함께 나옵니다. 도함수의활용은 4·5번에 배치되어 접선과 평균값 정리의 기본을 확인합니다. 단원 이름이 달라도 극한값과 함숫값을 구별하는 습관이 여러 문제에서 공통으로 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 극한 비중은 커졌습니다

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같으며 총 문항과 쉬움 문항이 늘었습니다. 등록 정보상 서술·단답은 작년 20번에서 올해는 없는 구성으로 바뀌었습니다. 형식 비교와 별개로 올해 19번은 자료의 논술 요구를 고려해 근거를 설명하는 연습에 활용하세요.

작년에는 미분계수와도함수가 가장 많았고, 올해도 해당 단원의 문항 수는 같습니다. 함수의극한은 작년 4문항에서 올해 7문항으로 늘었으며 도함수의활용은 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 함수의연속은 4문항에서 5문항으로 늘어, 기본 극한과 연속 조건을 활용하는 학습의 중요성이 드러납니다.

작년 어려움은 13~20번에 이어졌지만 올해는 10번에서 먼저 등장하고 후반 사이에 쉬움 문항도 있습니다. 어려움 수만 보고 같은 방식으로 시간을 배분하기보다 전체를 훑어 접근 가능한 문제를 찾아야 합니다. 다음 시험 대비에서는 미분 공식과 함께 그래프의 좌우 해석, 도형을 함수식으로 바꾸는 과정을 묶어 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 다른 표현으로 옮기는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 그림이나 부호표를 먼저 완성하면 계산할 대상과 예외가 드러납니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 정확히 처리하고 6~9번에서 조건 해석을 점검하세요. 10번의 나머지 연결이 바로 보이지 않으면 표시한 뒤 그래프 중심의 11~13번으로 넘어갈 수 있습니다. 후반의 자동 분류 기준 쉬움 문항인 19번까지 살펴보고, 긴 도형 문제에 남은 시간을 나누세요.

14·15번은 분모가 사라질 때의 조건과 미분계수 조건을 나누어 적으면 혼선을 줄일 수 있습니다. 연속이라는 조건으로 얻는 관계를 곧바로 미분가능성의 결론으로 바꾸지 마세요. 18번에서는 거리식의 비교가 끝나기 전에 모든 식을 미분하면 불필요한 계산이 늘어날 수 있습니다.

마지막 검토는 접근 방향과 경계의 예외를 중심으로 하세요. 12·13번은 좌우극한과 함숫값, 16·20번은 밑변과 높이 및 대각선의 역할을 확인하세요. 17번은 접할 때의 점 개수, 21번은 제외된 점의 포함 여부를 점검하면 조건 누락을 찾기 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분 공식, 인수분해, 접선과 평균값 정리의 기본형부터 정리하세요. 공식 적용 전 필요한 조건을 말로 확인해 보세요(1·2·4·5번 대비).
2. 연속 조건과 사잇값 정리를 복습하세요. 극한의 존재, 함숫값과의 일치, 구간 끝의 부호를 각각 표시하세요(3·6·9번 대비).
3. 그래프를 좌극한·우극한·함숫값의 표로 옮기세요. 함수의 연산 뒤에도 같은 표로 연속성을 다시 판단하세요(11·12·13번 대비).
4. 극한식을 미분계수의 정의로 바꾸는 연습을 하세요. 입력 변화량을 분모와 맞추고 항등식의 미분까지 연결하세요(7·8·10·14번 대비).
5. 연속성과 미분가능성을 순서대로 조사하세요. 경계의 값과 좌우미분계수를 분리해 기록하고 인수 조건을 추론하세요(15·18·19번 대비).
6. 도형의 넓이와 거리를 변수의 함수로 나타내세요. 부호표와 교점 개수의 경계까지 확인하는 풀이로 확장하세요(16·17·20·21번 대비).