덕수고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

덕수고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형부터 접선과 평균값 정리, 구간별 함수의 성질을 판단하는 유형까지 확인할 수 있습니다.

극한 단원은 유리화나 최고차항 비교만으로 끝나지 않습니다. 부등식으로 주어진 함수를 다루거나, 발산하는 함수 사이의 관계를 정리하고, 극한 조건으로 다항식을 결정하는 문제도 있습니다. 어떤 계산법을 쓸지 고르는 과정과 그 계산이 가능한 이유를 함께 익혀야 합니다.

연속과 미분은 경계 조건을 중심으로 연결됩니다. 곱이 연속이라고 각 인수가 연속이어야 하는 것은 아니며, 절댓값이 있다고 언제나 미분불가능한 것도 아닙니다. 익숙한 모양만 보고 결론을 내리기보다 실제 함숫값과 좌우의 변화를 확인하는 시험으로 읽을 수 있습니다.

난이도 분포 — 객관식 마지막에 모인 어려움 문항

쉬움 문항은 그래프의 극한, 접선의 기본형, 미분계수의 정의, 평균값 정리, 무한대에서의 극한을 다룹니다. 앞부분에만 모여 있지 않고 12번에도 있으므로 번호가 뒤라는 이유로 풀이를 미룰 필요는 없습니다. 기본형에서도 접근 방향과 구간 조건을 적는 습관이 실수를 줄입니다.

보통 문항에서는 개념을 조합하는 단계가 늘어납니다. 11번은 곱의 연속 조건에서 경우를 나누고, 14·15번은 극한과 다항식의 구조를 연결합니다. 서술·단답형에서도 사잇값 정리의 적용 근거와 평균변화율, 접선 기울기의 도출 과정을 간결하게 써야 합니다.

자동 분류 기준 어려움인 16·17번은 식이 직접 주어진 함수의 계산에서 벗어나 개수의 변화를 읽어야 한다는 공통점이 있습니다. 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 다만 경우를 나누고 경계의 값을 확인하는 준비가 필요한 위치는 분명합니다.

출제 단원 — 극한을 바탕으로 연속과 미분을 연결

가장 많은 함수의극한은 표현 방식이 다양합니다. 7번의 근호식, 9번의 부등식, 10번의 함수 사이 관계, 12번의 길이의 비를 같은 계산법으로 처리할 수는 없습니다. 극한의 형태를 먼저 분류하고 유리화, 대소 관계, 기준 함수로 나누기 중 적절한 방법을 선택하세요.

함수의연속에서는 정의 조건을 확인하는 문제가 개수 함수로 확장됩니다. 8번은 극한과 함숫값의 일치, 11번은 곱의 연속, 18번은 연속성을 이용한 실근 존재 보장입니다. 특히 함수 자체의 연속 여부와 연속성을 이용해 얻는 결론을 구별해야 합니다.

미분계수와도함수는 정의에 맞춘 극한 변형과 구간별 판단이 중요합니다. 도함수의활용은 접선 관련 문항과 평균값 정리로 구성되어 있습니다. 3·6번으로 접점과 기울기의 관계를 익힌 뒤, 함수 관계와 극한에서 필요한 정보를 얻는 20번으로 확장하면 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위의 분석상 고난도 문항 선정은 이용자 투표에 따른 순위가 아니며 자동 분류 기준 어려움 목록과도 구별됩니다. 공통적인 부담은 익숙한 계산에 들어가기 전에 중간 관계를 세워야 한다는 점입니다. 개수 함수는 경우별 표로, 극한 조건은 필요한 함숫값과 미분계수 목록으로 바꾸어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본형의 접근이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 16·17번에서 경우 정리가 길어지면 표시해 두고 서술·단답형 18~20번도 확인하는 편이 좋습니다. 객관식을 모두 해결한 뒤 서술형으로 넘어가겠다고 고정하면 뒤의 접근 가능한 문항에 쓸 시간이 줄어들 수 있습니다.

서술·단답형에서는 조건을 사용한 순서를 짧게 남기세요. 18번은 연속성과 양 끝 부호, 19번은 도함수의 값과 연속 조건 및 평균변화율, 20번은 함숫값과 미분계수의 연결이 중심입니다. 연습할 때 조건을 읽어 식으로 바꾸는 시간과 식을 정리하는 시간을 구별해 기록하면 보완할 부분을 찾기 쉽습니다.

마지막에는 경계와 정의를 확인하세요. 2번의 분모 조건, 7번의 근호와 부호, 11번의 사라질 수 있는 인수, 16번의 원 내부 조건, 17번의 경계 매개변수가 점검 대상입니다. 18번의 열린구간과 19번의 양수 조건도 계산이 끝난 뒤 다시 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽고, 근호식의 유리화와 무한대에서의 부호 처리를 복습하세요(1·7·12번 대비).
2. 극한의 대소 관계와 발산하는 함수의 비를 연습하세요. 부등식을 나누기 전 부호를 확인하고 유한하게 남는 조합을 찾아보세요(9·10번 대비).
3. 연속 조건을 좌극한·우극한·함숫값의 관계로 적으세요. 곱의 연속에서 경우를 나누고 사잇값 정리의 적용 구간을 구별하세요(2·8·11·18번 대비).
4. 미분계수의 정의를 여러 분모와 증분 표현으로 바꾸어 보세요. 구간별 함수에서는 입력의 부호를 따로 살피세요(4·13·20번 대비).
5. 다항식의 차수와 계수 결정에 극한·미분 조건을 연결하세요. 최고차항 비교의 근거와 평균변화율의 두 끝점을 정확히 적으세요(14·15·19번 대비).
6. 접선은 접점을 기준으로 세우고 평균값 정리는 구간 조건까지 확인하세요. 기본 접선에서 외부의 점을 지나는 접선으로 확장하세요(3·5·6·20번 대비).
7. 점의 개수와 미분불가능한 점의 개수를 함수로 나타내는 연습을 하세요. 값이 바뀌는 경계와 경계 자체의 값을 별도 표로 정리하세요(16·17번 대비).