현대고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

현대고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

현대고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수입니다. 극한의 계산과 연속의 정의를 바탕으로 구간별 함수, 절댓값 그래프, 다항함수의 계수 결정까지 연결됩니다.

초반에는 유리화, 접선의 기울기, 평균변화율처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이후에는 연속이 되기 위한 조건을 판별식으로 바꾸거나, 미분가능하다는 사실에서 인수 구조를 얻는 과정이 필요합니다. 계산 공식을 아는 것과 그 공식을 적용할 수 있는 조건을 확인하는 능력을 함께 요구합니다.

서술·단답형도 긴 계산만으로 구성되어 있지는 않습니다. 극한의 대소 관계, 나머지 항등식의 미분, 그래프에서 읽은 좌우극한처럼 풀이 근거를 명확히 쓰는 일이 중요합니다. 특히 그래프 문제에서는 원래 함수의 연속 여부와 새롭게 만든 함수의 연속 여부를 구별해야 합니다.

난이도 분포 — 객관식 중후반의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~3번에 모여 있습니다. 근호가 있는 차의 극한, 접선의 기울기, 평균변화율과 미분계수의 관계를 빠르고 정확하게 처리하는 구간입니다. 다만 평균변화율의 분모나 근호를 정리할 때의 부호를 생략하면 초반에도 실수가 생길 수 있습니다.

6번부터 어려움 문항이 나타나며 8~11번과 13·14번에서 조건 연결이 이어집니다. 7번과 12번은 보통으로 분류되어 있으므로, 앞 문항의 난도 때문에 뒤까지 모두 어렵다고 판단하지 마세요. 그래프를 나누어 그리거나 인수의 중복 정도를 따져야 하는 문제에는 접근 방향을 정리할 시간이 필요합니다.

서술·단답형에서는 17번이 어려움이고 15·16·18번은 보통입니다. 객관식에 시간을 모두 쓴 뒤 서술형을 시작하면 근거를 쓸 여유가 줄어들 수 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 차이가 있을 수 있으며, 연습에서는 자신이 조건 해석과 계산 중 어디에서 오래 머무는지 확인하세요.

출제 단원 — 미분계수의 정의와 연속 조건의 연결

미분계수와도함수는 기본 미분부터 정의의 활용까지 폭이 넓습니다. 2·3번에서 기울기와 변화율을 확인하고, 7·12·17번에서는 항등식이나 극한을 미분계수와 연결합니다. 16번처럼 다항식의 나머지 조건을 미분하는 유형도 있어, 도함수 계산만 반복하는 학습으로는 충분하지 않습니다.

함수의극한에서는 계산 방법을 선택하기 전에 식의 구조를 파악해야 합니다. 4번은 무한대에서의 조건으로 다항식의 차수와 계수를 제한하고, 9번은 도형의 길이를 좌표식으로 옮깁니다. 14번에서는 무한대의 극한과 특정 점 부근의 극한이 각각 차수와 인수의 중복 정도를 알려 준다는 점이 핵심입니다.

함수의연속은 경계에서 값을 맞추는 기본형에서 교점 개수의 불연속으로 확장됩니다. 5·11번은 연속 조건을 대수식으로 정리하는 능력이, 8·13번은 매개변수에 따라 달라지는 교점 개수를 읽는 능력이 중요합니다. 18번은 함수의 곱과 차에 대해 좌우극한과 함숫값을 직접 대조하는 연습으로 연결하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 문항 중 조건 변환의 단계가 두드러지는 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산보다 조건을 정리하는 순서가 중요합니다. 그래프의 경계, 인수의 구조, 접근점별 조건처럼 풀이의 기준을 먼저 적고 계산을 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번의 기본 계산을 정확히 마친 뒤 전체를 살펴보세요. 6번의 경계 검사나 8번의 교점 분류가 길어지면 확인한 조건을 남기고 다음 문항을 보는 방법이 좋습니다. 12번과 서술·단답형의 15·16·18번도 살펴, 접근 가능한 문제의 풀이 시간을 확보하세요.

그래프 문제에서는 그림에 경계의 포함 여부를 표시하는 시간을 아끼지 마세요. 8·13번은 매개변수가 경계에 있을 때와 그 양옆에 있을 때를 구별해야 합니다. 6번에서는 미분가능성을 확인하기 전에 연속성을 검사하고, 11번에서는 절댓값 안의 식이 양쪽 경계에서 어떤 부호를 갖는지 먼저 정리하세요.

마지막 검토는 계산 반복보다 논리의 연결을 확인하는 데 쓰세요. 10번은 약분한 식과 따로 정한 함숫값이 이어지는지, 14번은 곱의 인수가 각 함수의 추가 조건에도 맞는지 점검하세요. 17번은 접근점별 조건, 18번은 좌극한·우극한·함숫값의 비교가 풀이에 드러나는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 계산과 변화율을 먼저 복습하세요. 유리화 전후의 식을 대조하고 평균변화율과 접선의 기울기를 구별하세요(1·2·3번 대비).
2. 유한한 극한이 존재할 때 얻는 조건을 정리하세요. 차수 제한, 분자의 소멸, 인수의 중복 정도를 각각 어떤 상황에서 쓰는지 설명해 보세요(4·10·14번 대비).
3. 구간별 함수의 연속성과 미분가능성을 순서대로 검사하세요. 절댓값의 부호와 분모의 실근 조건까지 연결하세요(5·6·11번 대비).
4. 교점 개수의 변화를 표와 그래프로 정리하세요. 꼭짓점과 열린 끝점의 높이를 먼저 표시하고 경계 양쪽 및 경계 자체를 비교하세요(8·13번 대비).
5. 극한을 미분계수의 정의로 바꾸는 연습을 하세요. 보조함수나 일차함수의 차를 활용하고 접근점별로 함숫값과 미분계수를 나누어 적으세요(7·12·17번 대비).
6. 서술 근거를 짧고 완결되게 쓰는 연습을 하세요. 도형의 좌표식, 부등식의 극한, 나머지 항등식의 미분, 그래프의 좌우극한을 각각 문장과 식으로 연결하세요(9·15·16·18번 대비).