중산고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

중산고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 등록 문항은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선 및 그래프의 교점 해석을 다룹니다. 총 22문항 중 17~20번이 서술·단답형이므로 문항 번호만 보고 뒤쪽 전체를 서술형으로 생각하지 않아야 합니다.

초반에는 평균변화율, 접선의 기울기, 유리화처럼 익숙한 도구를 바로 적용할 수 있습니다. 이후에는 극한의 존재, 다항식의 계수, 절댓값의 부호 조건을 함께 처리해야 합니다. 식을 길게 전개하기 전에 어떤 조건이 함수의 형태를 제한하는지 찾는 것이 풀이의 출발점입니다.

특히 서술·단답형이 모두 미분계수와도함수 단원에 속합니다. 곱의 미분법을 계산하는 수준에서 시작해 계수의 반복 관계, 대칭 그래프의 미분가능성, 극한을 통한 함수 결정으로 이어집니다. 공식을 아는 것과 조건을 식으로 정리하는 능력을 함께 점검하는 시험입니다.

난이도 분포 — 중후반에 모인 조건 해석 문항

난이도와 비중은 자동 분류 기준입니다. 1~5번과 7번에서 기본 계산을 안정적으로 처리하고, 6번의 차분몫 변형과 8~11번의 연속·항등식·미분가능성 조건에서 풀이 근거를 정확히 세우는 흐름이 좋습니다. 쉬움으로 분류된 4번도 음의 무한대로 갈 때의 부호를 놓치면 계산이 흔들릴 수 있습니다.

12~16번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 교점 수를 함수로 표현하거나 부등식에서 계수를 제한하는 등 계산에 앞선 해석이 필요합니다. 이 구간에서 해결 방향이 보이지 않는 문항을 오래 붙잡기보다, 곱의 미분법으로 접근할 수 있는 17·18번을 먼저 확인하는 편이 효율적입니다.

19~22번에는 대칭과 절댓값, 구간별 함수, 실근 개수 변화가 이어집니다. 단순히 뒤로 갈수록 계산량이 늘어난다기보다, 경계에서 따로 확인할 조건이 많아지는 구간입니다. 후보를 구한 뒤 처음 조건에 다시 대입할 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 미분계수와도함수 중심의 연결형 구성

가장 많은 단원은 미분계수와도함수입니다. 평균변화율과 미분 공식부터 항등식, 절댓값 함수의 미분가능성까지 폭이 넓습니다. 미분한 식을 계산하는 연습에 더해, 극한식에서 기준점과 실제 변화량을 찾아내는 연습이 필요합니다.

함수의극한 문항도 유리식 계산에만 머물지 않습니다. 13번은 부등식의 양끝 극한으로 다항식의 계수를 제한하고, 16번은 곱의 극한에서 얻은 계수 정보를 차수와 정수 조건에 연결합니다. 22번처럼 절댓값과 부호에 따라 접근을 나눠야 하는 문항도 있습니다.

함수의연속에 분류된 12번은 유리함수 그래프와 교점 수의 변화가 주요 도구입니다. 도함수의활용에 속한 21번도 그래프의 높이에 따른 실근 수를 추적합니다. 단원명별로 문제를 분리해서 외우기보다, 식과 그래프를 오가며 조건을 해석하는 연습을 함께 하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 미분계수 비중은 확대

작년과 올해는 같은 수학II 시험입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 모두 9문항으로 같으며, 총 문항이 20문항에서 22문항으로 늘어 어려움 비중은 낮아졌습니다. 쉬움은 4문항에서 6문항으로 늘었지만 서술·단답형도 2문항에서 4문항으로 늘어, 전체 부담이 줄었다고 단정하기는 어렵습니다.

미분계수와도함수는 작년 5문항에서 올해 10문항으로 늘었고, 도함수의활용은 6문항에서 2문항으로 줄었습니다. 함수의극한은 6문항으로 같고 함수의연속은 3문항에서 4문항이 됐습니다. 올해 대비에서는 미분계수의 정의와 항등식, 경계의 미분가능성을 우선 점검할 이유가 분명합니다.

작년에는 어려움 문항이 8번부터 나타나 여러 구간에 흩어졌지만, 올해는 12~16번과 19~22번에 모였습니다. 초반에 확보한 시간을 중후반에 남기는 운영을 연습하세요. 다만 다음 시험에서도 같은 배치가 반복된다고 가정하지 말고, 기본 계산과 조건 해석을 함께 준비하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 것이 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 절댓값이 식의 모양을 바꾸는 기준을 먼저 정해야 한다는 점입니다. 구간 안의 계산뿐 아니라 경계 자체의 함수값과 변화 양상을 확인하는 습관이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 극한과 미분 계산을 정확히 처리해 시간을 확보하세요. 12~16번에서 풀이 방향이 잡히지 않으면 필요한 조건만 메모하고 다음 문항으로 이동하는 연습이 좋습니다. 17·18번은 자동 분류 기준 보통이므로 앞의 어려움 문항 때문에 시도할 시간을 잃지 않도록 하세요.

서술·단답형에서는 계산 결과만 남기기보다 입력을 바꾼 식, 계수의 반복 관계, 부호에 따른 경우를 차례로 적는 연습을 권합니다. 19·20번을 끝내도 21·22번이 남으므로, 연습할 때부터 마지막 객관식을 검토할 시간을 따로 확보하세요. 문항별 소요 시간을 기록하면 자신에게 맞는 재도전 순서를 정할 수 있습니다.

최종 점검에서는 4번의 음의 방향에서의 부호, 7번의 실근 존재와 총개수 구별, 9번의 차수가 낮아지는 예외를 확인하세요. 14번의 영다항식 가능성, 15·16번의 정수 계수, 19~22번의 절댓값 경계도 중요합니다. 극한이 존재한다는 조건을 사용했다면 분자가 어떤 값을 가져야 하는지 근거를 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 계산을 먼저 안정시키세요. 평균변화율, 접선의 기울기, 절댓값 우극한과 유리화를 짧은 풀이로 정리합니다(1·2·3·4·5번 대비).
2. 극한식의 기준점과 실제 변화량을 표시하고 미분계수의 정의로 바꾸세요. 분모를 맞출 때 생기는 배율과 부호를 설명해 봅니다(6·14·20번 대비).
3. 연속과 미분가능성 조건을 구분하세요. 좌우 극한, 함수값, 좌우 차분몫을 각각 확인하는 순서를 익힙니다(7·8·11·19번 대비).
4. 다항식을 결정하는 조건을 모아 보세요. 차수와 계수 비교, 판별식, 정수 조건을 적용하기 전에 예외를 분리합니다(9·10·13·15·16번 대비).
5. 곱의 미분법을 입력 변형과 반복 관계에 적용하세요. 전개 전에 함수식을 정확히 적고 계수별 변화를 표로 남깁니다(17·18번 대비).
6. 그래프의 높이와 교점 수를 연결하세요. 절댓값의 부호별 구간을 나누고 경계에서의 값을 따로 확인한 뒤 전체 조건으로 후보를 검산합니다(12·19·21·22번 대비).