잠신고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

잠신고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분의 정리와 항등식부터 운동, 넓이, 적분으로 정의된 함수의 극값까지 연결됩니다.

미분과 적분을 각각 계산하는 것만으로는 후반 문항에 대응하기 어렵습니다. 접선의 조건을 중근과 연결하거나 정적분의 등식을 원시함수의 같은 높이로 해석해야 합니다. 계산을 시작하기 전에 무엇의 부호와 교점 개수를 보아야 하는지 정하는 과정이 중요합니다.

서술·단답형에는 평균값 정리를 활용한 증명도 포함됩니다. 계산 결과뿐 아니라 정리를 적용할 수 있는 구간과 가정을 적는 연습이 필요합니다. 기본 문항을 먼저 확보하고 그래프 해석이 필요한 문항에 다시 돌아오는 방식으로 시험 운영을 준비하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2번이며 롤의 정리와 부정적분의 관계를 확인합니다. 3~8번은 보통으로 분류되어 감소 구간, 실근 개수, 운동 방향, 계수 비교, 주기함수의 적분을 다룹니다. 기본형에서도 열린구간과 부호 조건을 정확히 읽어야 합니다.

9번에서 어려움 문항이 나온 뒤 10·11번은 보통으로 돌아옵니다. 이후 12~17번은 모두 어려움입니다. 극값의 차, 역함수, 절댓값의 미분가능성, 교점 개수처럼 계산 이전의 해석이 길어질 수 있으므로 한 문항에 오래 머물지 않도록 하세요.

서술·단답형은 18·19·21번이 보통이고 20·22번이 어려움입니다. 뒤에 있다는 이유로 모두 같은 부담으로 보지 말고 증명과 운동의 기본형도 먼저 살펴보세요. 이 분포는 자동 분류 기준이며 개별 학생의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분 함수의 그래프

도함수의활용은 감소와 극값을 판단하는 기본형에서 매개변수와 접선 조건을 결합하는 유형까지 이어집니다. 특히 12·13·16·20번은 같은 단원 안에서도 접근이 다릅니다. 증감표 작성에 이어 보조함수를 정하거나 교점의 변화를 설명하는 단계까지 연습해야 합니다.

정적분은 7번의 주기성에서 14·17·22번의 함수 해석으로 확장됩니다. 적분식으로 정의된 함수를 미분한 뒤 영점과 부호를 분석하는 연결이 중요합니다. 부정적분도 2번의 기본 관계와 15번의 극값·실근 개수 해석 사이에 요구되는 사고의 차이가 큽니다.

정적분의활용은 접선과 곡선 사이의 넓이, 두 점 사이의 거리, 움직인 거리를 다룹니다. 모두 적분을 쓰지만 적분할 대상과 부호 처리 방식이 다릅니다. 미분계수와도함수에서는 정리의 적용 조건과 항등식의 차수 판단을 함께 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 서술·단답 확대

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 14문항에서 9문항으로 줄고 쉬움은 0문항에서 2문항으로 늘었습니다. 총 문항은 23문항에서 22문항으로 줄었지만 서술·단답형은 4문항에서 5문항으로 늘어, 풀이 근거를 정리하는 준비는 계속 필요합니다.

도함수의활용은 작년 12문항에서 올해 9문항으로 줄었으나 가장 많은 단원이라는 점은 같습니다. 정적분은 8문항에서 4문항으로 줄고, 정적분의활용은 2문항에서 3문항, 부정적분은 1문항에서 2문항으로 늘었습니다. 미적분의 여러 기본 개념을 고르게 점검할 필요가 있습니다.

작년의 어려움은 8~13번, 15~19번과 서술·단답형 21~23번에 배치되었습니다. 올해는 첫 어려움이 9번이고 12~17번에 연속되며 서술·단답형 20·22번으로 이어집니다. 어려움 감소를 근거로 후반 대비를 줄이기보다, 기본형 확보와 그래프 조건 해석을 나누어 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건을 바꾸어 읽는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 미분 계산 이후의 영점·접점·부호 해석이 중요하므로 식 옆에 간단한 그래프나 부호표를 남기는 연습이 효과적입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~8번의 기본 구조를 확인하고, 9번에서 접선 결정이 길어지면 표시해 두고 10·11번을 살펴보세요. 12~17번을 모두 해결한 뒤에 서술·단답형으로 넘어가려 하면 증명과 기본 운동 문항을 쓸 시간이 부족할 수 있습니다. 전체를 훑으며 출발점이 보이는 문제부터 처리하는 연습을 권합니다.

서술·단답형에서는 계산 전에 사용할 근거를 짧게 적으세요. 18번은 평균값 정리의 연속·미분가능 조건, 19번은 초기 위치와 속도 부호, 21번은 롤의 정리를 적용할 양 끝의 함숫값이 출발점입니다. 20·22번은 도함수의 영점과 부호표를 먼저 정리하면 경우 누락을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 계산을 반복하기보다 조건을 되짚으세요. 1·21번은 열린구간 안의 점인지, 4·17번은 극값 높이에서 교점이 어떻게 합쳐지는지 확인하세요. 9번의 접선 기울기, 10번의 위치 차 부호, 14·22번의 중복근과 부호 변화도 놓치기 쉬운 지점입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 롤의 정리와 평균값 정리의 가정을 말로 설명하고 적용 구간을 적는 연습을 하세요. 상한을 얻은 뒤 가능한 함수도 확인하세요(1·11·18·21번 대비).
2. 다항함수 항등식은 차수와 최고차항부터 비교하세요. 부정적분의 등식을 미분하는 기본형과 계수 비교를 연결하세요(2·6번 대비).
3. 도함수의 영점과 극점을 구별하는 부호표를 작성하세요. 감소 구간과 실근 개수, 극값 차의 해석으로 확장하세요(3·4·8·12·20번 대비).
4. 속도와 위치의 관계를 복습하고 방향 전환, 위치 변화량, 거리의 차이를 설명하세요. 초기 위치와 절댓값 처리를 따로 점검하세요(5·10·19번 대비).
5. 접점 좌표로 접선을 세우고 교점 개수 변화와 중근 조건을 결합하세요. 넓이를 적분하기 전 위아래 그래프를 표시하세요(9·16번 대비).
6. 적분 함수를 미분한 뒤 그래프를 읽는 연습을 하세요. 주기성, 절댓값의 미분가능성, 수평선의 교점, 경계에서의 부호 변화를 함께 정리하세요(7·14·15·17·22번 대비).
7. 역함수 조건을 원함수의 관계로 바꾸고 경우별 매개변수 범위를 합치는 연습을 하세요. 보조함수의 단조성을 먼저 확인하세요(13번 대비).