잠신고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

잠신고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 접선의 기울기부터 함수의 증감과 극값, 적분으로 표현된 관계까지 이어집니다.

가장 두드러지는 특징은 도함수의 활용이 여러 표현으로 반복된다는 점입니다. 운동 방향은 속도의 부호 변화로, 모든 입력에 대한 부등식은 최댓값과 최솟값의 비교로, 실근의 개수는 그래프와 수평선의 교점으로 해석해야 합니다. 같은 미분 계산을 쓰더라도 출발 조건을 바꾸어 읽는 과정이 중요합니다.

정적분도 독립된 계산에 머물지 않습니다. 극값 조건으로 도함수를 정한 뒤 함숫값 차이를 적분으로 연결하거나, 적분 등식을 미분하여 함수의 형태를 제한합니다. 연습할 때에는 계산 전에 주어진 조건을 어느 정리와 연결할지 짧게 적어 보세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움은 1·2·3·4·7번에 배치되어 있습니다. 접선의 기울기, 평균값 정리, 정적분의 성질, 극솟값, 적분상수 결정처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이 구간에서는 공식 선택뿐 아니라 미분값과 함숫값, 원시함수와 적분상수를 구별하는 정확성이 필요합니다.

보통은 5·6·8·9·17번입니다. 운동 방향이 바뀌는 시각을 고르거나 증가 조건을 도함수의 부호로 바꾸는 단계가 추가됩니다. 17번도 보통으로 분류되므로, 10~16번에서 풀이가 길어질 때 서술·단답형 전체를 한꺼번에 뒤로 미루지 않는 편이 좋습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 전체의 절반을 넘으며 10~16번에 연속됩니다. 18~21번도 어려움으로 분류되어, 후반에는 개별 계산보다 조건의 연결과 경우 구분에 시간이 들 수 있습니다. 이는 자동 분류에 따른 구성 분석이며 실제 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용에 집중된 구성

도함수의활용은 2·4·5·6·8번의 기본형에서 10~12번과 14~16번의 복합 조건으로 확장됩니다. 17·18·21번도 이 단원입니다. 극값을 구하는 연습에 더해, 도함수의 근이 중복될 때 부호가 어떻게 달라지는지 설명할 수 있어야 합니다.

정적분은 3·9·13·20번입니다. 같은 구간의 적분을 합치는 성질과 대칭 구간의 홀짝 성질을 먼저 익히고, 변수가 적분 끝에 들어간 등식을 미분하는 유형으로 이어 가세요. 특히 13·20번은 미분으로 식을 단순화한 뒤 원래 조건을 다시 대입하는 과정이 중요합니다.

정적분의활용은 19번으로, 문항 수는 적지만 접선·교점·선분 길이·넓이를 함께 해석합니다. 또한 도함수의활용으로 분류된 12·15번에도 적분 계산이 연결됩니다. 단원별 표는 대표 분류이므로, 적분 단원 문항만 풀고 넓이와 거리 학습을 마쳤다고 판단하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 도함수 활용의 비중 증가

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 12문항에서 11문항으로 줄었고, 쉬움은 1문항에서 5문항으로 늘었습니다. 총 문항은 22문항에서 21문항으로 줄었지만 서술·단답형은 3문항에서 4문항으로 늘어, 총량 감소만으로 풀이 부담을 판단하기는 어렵습니다.

도함수의활용은 9문항에서 14문항으로 늘고, 정적분의활용은 8문항에서 1문항으로 줄었습니다. 정적분은 양쪽 모두 4문항입니다. 올해에는 도함수 활용을 우선 연습하되, 이 단원 안에서도 넓이와 거리 계산이 연결된다는 점을 함께 고려하세요.

작년의 어려움은 7번부터 등장했고 16·18·21번은 보통이었습니다. 올해는 10~16번과 18~21번에 어려움이 이어집니다. 다음 시험 대비에서는 기본형의 정확성을 확보한 뒤, 후반 문항을 묶어 풀며 조건 해석에 쓰는 시간을 조절하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 순위는 아닙니다. 공통적으로 조건을 식으로 옮긴 뒤에도 부호와 전체 범위를 검토해야 합니다. 후보를 만드는 단계와 후보를 검증하는 단계를 나누어 풀이를 정리하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 개념 적용을 정확하게 마치는 것을 목표로 하세요. 10~16번에서 접근이 보이지 않는다면 필요한 조건만 메모하고 다음 문항을 확인하세요. 17번은 자동 분류 기준 보통이므로 후반이라는 이유로 미루지 말고, 21번까지 형식을 살펴 풀이 순서를 정하세요.

서술·단답형에서는 출발 근거를 먼저 적어 두세요. 17번은 닫힌구간의 끝값 비교, 18번은 등호가 성립하는 곳의 접선 조건, 19번은 두 영역의 부호, 20번은 적분식을 나누는 기준이 중요합니다. 연습에서는 이 출발점을 정하는 시간과 실제 계산 시간을 따로 확인하면 보완할 부분이 드러납니다.

마지막 검토는 부호와 경계에 집중하세요. 5·15번에서는 속도의 영점과 방향 전환을 구별하고, 6번에서는 도함수가 사라지는 경계를 확인하세요. 10번은 입력을 독립적으로 고르는 조건, 12번은 최댓값을 주는 끝점의 교대, 19번은 위아래 함수의 순서, 21번은 이동된 근의 중복을 다시 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선 기울기·평균값 정리·적분상수를 먼저 복습하세요. 각 정리가 연결하는 입력과 출력이 무엇인지 말로 설명해 보세요(1·2·7번 대비).
2. 도함수의 부호표로 극대·극소·닫힌구간의 최댓값을 구하세요. 끝점까지 비교한 뒤 함숫값을 결정하는 연습이 필요합니다(4·8·17번 대비).
3. 증가 조건과 전체 부등식을 도함수의 부호 또는 극값 비교로 바꾸세요. 입력이 같은지 독립적인지도 먼저 구별하세요(6·10·18번 대비).
4. 운동에서는 위치·속도·가속도의 관계를 정리하고 중복근의 부호 변화를 확인하세요. 이동 거리와 위치 변화량을 구분해 계산하세요(5·15번 대비).
5. 정적분의 선형성과 대칭성을 익힌 뒤 변수 끝점을 가진 등식을 미분하세요. 적분상수와 원래 등식의 확인을 마지막에 남겨 두세요(3·9·13·20번 대비).
6. 근의 위치·정수 조건·수평선 교점 수를 그래프로 나타내세요. 접점과 중근, 이동된 근에서 생기는 중복을 각각 표시하세요(11·14·16·21번 대비).
7. 절댓값의 최댓값과 두 영역의 넓이를 구간별로 정리하세요. 적분 전에 함수의 부호와 구간을 나누는 경계를 설명해 보세요(12·19번 대비).