잠신고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

잠신고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 함수의 증가·감소와 최대·최소에서 출발해 넓이, 위치 변화, 적분으로 정의된 함수까지 연결됩니다.

앞부분에서는 미분과 적분의 기본 관계를 확인하지만, 중반부터는 그래프와 조건을 식으로 바꾸는 과정이 두드러집니다. 접선이 만드는 넓이, 항상 성립하는 부등식, 절댓값을 씌운 적분함수의 극소처럼 계산식 자체를 정하는 판단이 먼저 필요한 시험입니다.

문항 번호만으로 형식을 추정하면 안 됩니다. 자료상 18~20번이 서술·단답형이고 21·22번은 객관식입니다. 마지막까지 순서대로만 풀기보다 넓이 계산의 기본 구조가 보이는 21번과 복합적인 교점 해석이 필요한 22번을 구별해 접근하세요.

난이도 분포 — 중반에 이어지는 어려움 문항

쉬움은 위치를 미분해 속도를 구하는 1번입니다. 보통 구간에서는 적분구간의 방향, 닫힌구간의 끝점, 넓이를 구할 때의 부호처럼 기본 원리를 정확히 적용해야 합니다. 자동 분류 기준의 보통이라는 표시는 계산을 생략해도 된다는 뜻이 아닙니다.

7번은 운동 문제를 위치함수의 교점으로 바꾸어야 하고, 9~15번에서는 접선·도함수 그래프·중근·대칭 적분 등이 이어집니다. 이 구간에서 매번 식을 전개하기보다 필요한 보조함수와 부호표를 먼저 정하면 풀이 방향을 유지하기 쉽습니다.

16·18·21번은 보통으로 분류돼 중반 이후에도 확보할 문항이 남아 있습니다. 19·20번의 서술·단답형과 22번은 조건 확인에 시간이 필요하므로, 중반에서 막혔다는 이유로 남은 문항 확인을 미루지 마세요.

출제 단원 — 도함수와 정적분의 활용이 중심

도함수의활용은 9문항으로 가장 많습니다. 최대·최소의 기본형뿐 아니라 도함수 관련 그래프를 읽고 원함수의 성질을 추론하거나, 방정식의 실근 개수를 교점으로 해석하는 문제가 포함됩니다. 도함수가 영이 되는 점을 찾은 뒤 실제 부호 변화까지 설명하는 학습이 중요합니다.

정적분의활용은 8문항입니다. 넓이에서는 구간별 위아래 관계를, 운동에서는 초기 위치·초기 속도와 방향 전환을 확인해야 합니다. 7·9번처럼 활용 문제 안에서 미분을 다시 사용하는 경우가 있어 단원 이름별로 풀이법을 분리해 외우는 데 한계가 있습니다.

정적분은 2번의 구간 성질에서 14·15·20번의 조건 해석으로 난도가 올라갑니다. 부정적분의 5번도 단순 적분 계산보다 등식을 미분하고 다항식의 차수와 계수를 비교하는 문제이므로, 적분 단원의 준비에 미분의 역관계를 함께 넣으세요.

문항별 정리

난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 판단과 검산 지점을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 활용과 어려움 비중 확대

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 5문항에서 3문항으로 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 9문항에서 12문항으로 늘었습니다. 서술형 개수만 보고 부담이 줄었다고 해석하기보다 객관식까지 포함한 조건 해석의 밀도를 살펴야 합니다.

가장 많은 단원은 도함수의활용으로 9문항씩 같습니다. 정적분의활용은 작년 3문항에서 올해 8문항으로 늘었고 정적분은 4문항씩 같습니다. 작년에는 미분계수와도함수 4문항이 있었으나 올해 단원 분류에는 없어, 올해는 미분의 활용과 적분 활용을 연결하는 연습에 무게를 둘 필요가 있습니다.

작년 어려움 문항은 9번부터 나타났지만 올해는 7번부터 시작하며, 작년에는 보통이었던 10·11번도 올해는 어려움입니다. 작년의 서술·단답형 끝부분과 달리 올해 21·22번은 객관식이므로 형식도 다시 확인하세요. 다음 대비에서는 초반 운동 문제와 중반 그래프 해석을 함께 묶어 풀어 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확인한 것이 아니라, 풀이에 필요한 조건 연결을 기준으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 먼저 보조함수를 정하고 영점·부호·경계를 표시해야 계산의 의미가 분명해집니다. 식 전개에 앞서 간단한 그래프를 그리는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번에서 적분 방향과 끝점 비교를 정확히 처리하고, 7번에서 교점 해석이 바로 잡히지 않으면 표시한 뒤 진행하세요. 8번의 대칭성과 16·18·21번의 기본 구조가 보이는지 확인하면 중반의 어려움 문항에 시간을 모두 쓰는 일을 줄일 수 있습니다.

9~15번을 연속으로 만났을 때는 각 문항에서 필요한 부호표나 보조함수를 적고, 그 다음 단계가 이어지는지 판단하세요. 방향이 잡히지 않는 문항은 재방문 대상으로 남기되 18~20번을 검토할 시간을 확보해야 합니다. 서술·단답형에서는 구간 분할과 후보 비교를 기록해 자신의 논리도 점검하세요.

마지막 점검에서는 3·19번의 끝점, 7번의 출발 후라는 시간 범위, 8번의 정의역, 16번의 구간 경계 속도를 확인하세요. 18번에서는 속도가 영인 것과 방향이 바뀌는 것을 구별하고, 20번에서는 절댓값 내부의 부호, 22번에서는 공통근의 중복을 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분·적분의 역관계부터 정리하세요. 위치와 속도, 적분구간의 방향, 부정적분 등식의 미분을 묶어 기본 계산을 점검합니다(1·2·5번 대비).
2. 최대·최소는 도함수의 영점과 구간 끝점을 같은 표에 넣어 비교하세요. 매개변수가 구간에도 들어가는 경우까지 확장합니다(3·19번 대비).
3. 넓이는 그림에 위아래 관계와 경계 변화를 표시한 뒤 적분하세요. 역함수의 대칭과 접선으로 나뉜 영역도 함께 연습합니다(4·6·8·9·21번 대비).
4. 운동은 초기 조건부터 연결하세요. 속도 적분으로 위치를 만들고, 가속도가 구간별로 주어질 때 속도를 이어 쓰며, 이동 거리와 위치 변화를 구분합니다(7·16·18번 대비).
5. 도함수 그래프와 보조함수의 부호표를 연습하세요. 항상 성립하는 부등식은 중근 조건으로, 실근 개수는 교점 조건으로 바꾸어 설명합니다(10·11·12·13·17번 대비).
6. 대칭 적분과 절댓값의 영점 처리를 마무리하세요. 절댓값 함수의 극소·미분가능성을 구분하고, 매개변수 경계에서 빠지거나 겹치는 근을 점검합니다(14·15·20·22번 대비).