경기고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

경기고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

경기고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 평균변화율과 접선의 기초부터 조각함수의 미분가능성, 교점 개수로 정의된 함수의 연속성까지 다룹니다.

초반에는 인수분해로 극한을 구하거나 도함수로 접선의 기울기를 찾는 기본형이 나옵니다. 이후에는 주어진 극한이 어느 방향의 정보인지, 곱한 함수가 연속이 되려면 어떤 조건이 필요한지 해석해야 합니다. 공식을 아는 것과 공식을 적용할 조건을 확인하는 것을 함께 요구하는 시험입니다.

서술·단답형도 성격이 다릅니다. 20번은 이동한 함수와 원래 함수의 곱이 연속일 조건을 검토하고, 22번은 사잇값의 정리를 적용할 구간을 구성하며, 23번은 미분법의 근거를 설명합니다. 계산 결과뿐 아니라 조건을 어떤 순서로 연결하는지 문장으로 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 검증

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·3·4·8·23번입니다. 평균변화율, 극한의 기본 계산, 제거 가능한 불연속, 접선, 곱의 미분법을 확인합니다. 특히 23번은 쉬움으로 분류되어 있어도 정의를 이용한 설명이 필요하므로 공식을 적는 데서 끝내지 않아야 합니다.

보통 문항은 5·6·7·9·11·21번입니다. 접점을 미지수로 두는 접선 문제, 극한으로 다항식을 결정하는 문제, 연결점의 미분가능성처럼 대표 접근법이 분명한 유형입니다. 7번의 합성함수 극한은 안쪽 식이 어디에서 접근하는지 표시한 뒤 그래프를 읽어야 합니다.

어려움은 10번 이후 중후반에 밀집합니다. 12~20번을 순서대로 모두 해결하려 하면 뒤의 접근 가능한 문제를 확인할 시간이 줄어들 수 있습니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며, 각 문항의 실제 체감 난도는 그래프 해석과 논증에 익숙한 정도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 미분계수와 연속 조건의 연결

미분계수와도함수는 기본적인 미분 계산과 정의의 해석을 함께 다룹니다. 8번의 곱의 미분법에서 23번의 공식 유도로 이어지고, 10·15번에서는 극한식을 변화율로 바꾸는 과정이 중요합니다. 13·17·21번은 연속 조건과 좌우미분계수 조건을 구별해야 합니다.

함수의연속은 단순히 좌극한과 우극한을 맞추는 유형에 머물지 않습니다. 14번은 주기적으로 이어지는 경계와 분모를 확인하고, 18·19번은 교점 개수의 변화를 함수로 읽으며, 20번은 곱에서 불연속이 사라질 조건을 검토합니다. 22번은 연속성이 정리 적용의 전제라는 점을 직접 설명해야 합니다.

함수의극한에서는 2번의 기본 계산을 바탕으로 6번의 인수 조건, 7번의 합성함수 접근 방향, 12번의 도형 관계로 확장됩니다. 도함수의활용은 접선을 중심으로 구성되어 있으며, 16번에서는 함수와 접선의 차를 이용해 접한다는 조건을 인수 구조로 바꾸는 것이 유용합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 극한 중심에서 미분계수 중심으로

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항은 24문항에서 23문항으로 줄었고 서술·단답형은 모두 3문항입니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 11문항으로 늘었으며, 보통은 15문항에서 6문항으로 줄었습니다. 쉬움도 2문항에서 6문항으로 늘어 기본형과 복합 조건형을 구별해 대응할 필요가 있습니다.

가장 많은 단원은 작년 함수의극한 7문항에서 올해 미분계수와도함수 9문항으로 바뀌었습니다. 미분계수와도함수는 작년 5문항이었고, 함수의연속은 6문항에서 7문항으로 늘었습니다. 반면 함수의극한은 4문항, 도함수의활용은 작년 6문항에서 올해 3문항이어서 미분가능성과 연속 조건의 연결에 학습 비중을 둘 만합니다.

작년 어려움은 4·14·16·18·19·20·21번에 있었고, 올해는 10번과 12~20번, 22번입니다. 올해는 중후반에 연속된 어려움 구간이 뚜렷합니다. 다음 시험 준비에서는 기본 극한과 접선 계산을 유지하면서 조각함수의 연결 조건을 정리하고, 긴 경우 구분 문제에서 일단 넘어가는 연습도 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리와 논증 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산에 앞서 검토할 지점이나 구간을 정해야 합니다. 풀이 옆에 연속, 미분가능, 경계 포함 여부를 따로 적어 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 확보하고 전체 구성을 확인하세요. 10번에서 판단이 길어지거나 12~20번에서 경우 구분이 늘어나면 표시해 두고 21·23번을 살펴보세요. 특히 23번의 정의에 따른 설명을 마지막에 급히 쓰지 않도록 서술·단답형 작성 시간을 남기는 운영이 필요합니다.

조건을 읽는 단계와 계산하는 단계를 나누세요. 7·10번은 치환한 변수가 접근하는 방향, 14번은 주기 경계와 분모가 사라지는 위치, 17번은 연속 조건을 만족하는 후보와 미분가능한 후보의 차이가 중요합니다. 연속이라고 해서 미분가능한 것은 아니므로 기울기 검사를 별도로 적어야 합니다.

마지막 검토에서는 제외한 경우의 근거를 확인하세요. 18·19번은 같은 교점을 겹쳐 세거나 경계의 교점을 빠뜨리지 않았는지, 20번은 불연속점이 겹치는 경우와 떨어지는 경우를 모두 검토했는지 살펴보세요. 22번은 정리를 쓴 구간에서 연속임을 밝혔는지, 23번은 극한 분리의 근거를 썼는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균변화율과 미분계수의 정의를 먼저 복습하세요. 두 점을 잇는 직선의 기울기와 한 점에서의 순간변화율을 구별해 설명해 보세요(1·10번 대비).
2. 극한 계산과 연속 조건을 연결하세요. 인수분해 전에 분모가 사라지는 점과 필요한 분자 조건을 확인하고, 무한대에서는 최고차항을 비교하세요(2·3·6·9번 대비).
3. 합성함수의 극한과 주기함수의 연결을 연습하세요. 안쪽 식의 접근 방향과 기본 구간의 양 끝이 이어지는 방식을 그림에 표시하세요(7·14번 대비).
4. 접선은 접점 설정과 함수에서 접선을 뺀 식을 함께 익히세요. 접점이 주어진 경우에서 곡선 밖의 점이 주어진 경우로 확장하세요(4·5·11·16번 대비).
5. 조각함수는 연속 조건을 먼저 쓰고 좌우미분계수를 비교하세요. 곱에서 불연속이 사라지는 조건과 기울기 차이가 사라지는 조건을 구별하세요(13·15·17·20·21번 대비).
6. 교점 개수의 변화와 도형의 극한은 그래프나 보조선으로 구조를 먼저 정리하세요. 경계에서 개수가 바뀌는 이유와 넓이의 공통 요소를 설명하세요(12·18·19번 대비).
7. 정의와 정리를 근거까지 포함해 서술하세요. 사잇값의 정리를 적용할 구간을 명시하고 곱의 미분법 유도에서 연속성을 사용하는 지점을 확인하세요(22·23번 대비).